Membongkar Operasi Biner Buatan
Mesin Aturan yang Kaku
Operasi biner buatan adalah mesin pemroses dengan aturan khusus yang tidak selalu mewarisi sifat operasi matematika standar.
Bayangkan operasi biner buatan seperti sebuah mesin pabrik. Mesin ini menerima dua bahan baku, yaitu input pertama $a$ dan input kedua $b$. Begitu kedua bahan masuk, mesin akan merakitnya secara kaku mengikuti blueprint yang sudah diprogram. Pada soal kita, cetakan mesin tersebut adalah:
$$a * b = -2b(a+b)+5$$
Kita tidak boleh menebak hasil atau mengasumsikan sifat operasi matematika biasa (seperti penjumlahan atau perkalian biasa) langsung berlaku pada mesin ini. Semua sifat harus diuji langsung lewat alur cetakannya.
Sebagai contoh, mari kita periksa Opsi B yang menyatakan bahwa operasi ini bersifat komutatif ($a * b = b * a$). Jika urutan input dibalik, bahan baku pertama menjadi $b$ dan bahan baku kedua menjadi $a$. Cetakan mesin akan merakitnya menjadi:
$$b * a = -2a(b+a)+5 = -2a(a+b)+5$$
Bandingkan kedua rakitan: pada $a * b$, faktor pengalinya adalah $-2b$, sedangkan pada $b * a$, faktor pengalinya adalah $-2a$. Jelas kedua bentuk aljabar ini tidak identik. Misalnya saat kita masukkan $a=1$ dan $b=2$:
$1 * 2 = -2(2)(1+2)+5 = -12+5 = -7$
$2 * 1 = -2(1)(2+1)+5 = -6+5 = -1$
Karena $-7 \neq -1$, urutan masuk bahan baku terbukti mengubah hasil rakitan. Oleh karena itu, Opsi B bernilai salah.
Jangan Terkecoh Tanda Minus
Tanda negatif pada variabel input tidak menjamin hasil akhirnya menjadi negatif; semuanya bergantung pada proses di dalam mesin operasi.
Sering kali muncul godaan visual: melihat input bertanda negatif seperti $(-a)$ dan $(-b)$ membuat kita merasa hasil akhirnya pasti berbeda tanda atau bernilai negatif. Padahal, label tanda pada bahan mentah akan diproses dan dilebur oleh interaksi aljabar di dalam mesin.
Mari kita buktikan hal ini untuk menguji Opsi A, yang menyatakan bahwa $a * b = (-a) * (-b)$ untuk setiap bilangan bulat $a$ dan $b$. Kita masukkan bahan mentah $(-a)$ sebagai input pertama dan $(-b)$ sebagai input kedua ke dalam cetakan awal $-2b(a+b)+5$:
$$(-a) * (-b) = -2(-b)\big((-a)+(-b)\big)+5$$
Mari kita uraikan langkah penyederhanaannya secara bertahap:
Suku pengali depan: $-2 \times (-b) = 2b$.
Bagian dalam kurung: $(-a)+(-b) = -(a+b)$.
Kalikan keduanya: $2b \times \big(-(a+b)\big) = -2b(a+b)$.
Tambahkan konstanta: $-2b(a+b)+5$.
Hasil rakitan akhir dari $(-a) * (-b)$ ternyata persis sama dengan rumus awal $a * b$. Tanda negatif dari kedua input saling meniadakan secara aljabar selama proses perakitan. Dengan demikian, Opsi A bernilai benar.
Sebuah operasi didefinisikan dengan aturan $m \oplus n = m^2 - n$. Bagaimanakah hasil operasi tersebut jika kita memasukkan input $(-m)$ dan $(-n)$?
- Hasilnya pasti akan bernilai negatif karena kedua input bertanda negatif.
- Hasilnya akan sama persis dengan ekspresi m^2 + n.
- Hasilnya akan sama persis dengan aturan awal m^2 - n.
- Hasilnya akan berubah bentuk menjadi ekspresi -m^2 - n.
Jawaban: Hasilnya akan sama persis dengan ekspresi m^2 + n.
Substitusikan input (-m) menggantikan m dan (-n) menggantikan n ke dalam aturan m^2 - n: (-m)^2 - (-n) = m^2 + n. Pilihan A salah karena mengira input negatif pasti membuat hasil negatif. Pilihan C salah karena mengabaikan tanda minus pada suku n. Pilihan D salah karena (-m)^2 menghasilkan m^2 positif, bukan -m^2.
Input variabel dengan tanda negatif harus dievaluasi ke dalam aturan operasi, bukan ditebak hasil akhirnya.
Mengeksekusi Operasi Bertingkat
Dalam operasi bertingkat, hasil mesin dari dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu sebelum dijadikan input baru untuk operasi di luarnya.
Mesin operasi biner pada dasarnya hanya bisa memproses dua bahan sekaligus. Jika kita menjumpai ekspresi bertingkat dengan tanda kurung, aturan urutan pengerjaannya sangat tegas: selesaikan mesin tahap pertama di dalam kurung hingga menghasilkan satu angka utuh, lalu jadikan angka tersebut sebagai bahan baku untuk mesin tahap kedua.
Prinsip ini terlihat jelas saat kita mengevaluasi Opsi E, yaitu menghitung nilai dari $3 * ((-1) * 2)$:
Mesin Tahap 1 (dalam kurung): hitung $(-1) * 2$ dengan $a = -1$ dan $b = 2$.
$$(-1) * 2 = -2(2)\big((-1)+2\big)+5 = -4(1)+5 = 1$$
Mesin Tahap 2 (operasi luar): masukkan angka $1$ ini menggantikan isi kurung, sehingga menjadi $3 * 1$ (dengan $a = 3$ dan $b = 1$).
$$3 * 1 = -2(1)(3+1)+5 = -2(4)+5 = -8+5 = -3$$
Perhitungan bertahap ini membuktikan bahwa Opsi E bernilai benar.
Sekarang, kita gunakan pemahaman operasi bertingkat ini untuk menguji Opsi D, yaitu sifat asosiatif yang menyatakan $(a * b) * c = a * (b * c)$. Menurunkannya secara aljabar simbolik sering kali rumit dan rawan keliru. Cukup gunakan satu set angka penyangkal, misalnya $a=1, b=2, c=1$:
Sisi kiri $(1 * 2) * 1$: dari halaman sebelumnya kita tahu $1 * 2 = -7$. Lanjutkan dengan $(-7) * 1$:
$$(-7) * 1 = -2(1)(-7+1)+5 = -2(-6)+5 = 12+5 = 17$$
Sisi kanan $1 * (2 * 1)$: kita tahu $2 * 1 = -1$. Lanjutkan dengan $1 * (-1)$:
$$1 * (-1) = -2(-1)(1+(-1))+5 = 2(0)+5 = 5$$
Karena $17 \neq 5$, pengelompokan kurung terbukti mengubah hasil akhir rakitan. Maka, Opsi D bernilai salah.