Trik Memfaktorkan Pangkat 4

Mengingat Selisih Dua Kuadrat

Bentuk selisih dari dua bilangan yang dikuadratkan selalu dapat diubah menjadi perkalian penjumlahan dan pengurangannya.

Pola dasar ini dikenal sebagai selisih dua kuadrat:

$$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$

Diagram pembuktian geometris selisih dua kuadrat menunjukkan pemotongan area B kuadrat dari area A kuadrat dan penyusunan ulangnya menjadi persegi panjang berukuran A min B kali A plus B.

Secara geometris, jika kita memiliki persegi luas $A^2$ lalu memotong sudutnya seluas $B^2$, daerah berbentuk L yang tersisa dapat dipotong dan digeser menjadi persegi panjang baru berukuran sisi $(A - B)$ dan $(A + B)$.

Mari kita coba dengan angka sederhana terlebih dahulu:

Hasil keduanya sama persis. Hal yang sama berlaku jika kita mengganti angka dengan variabel aljabar biasa, misalnya:

$$y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3)$$

Bagaimana bentuk pemfaktoran dari ekspresi $m^2 - 25$?

  • $(m - 5)(m + 5)$
  • $(m - 25)(m + 25)$
  • $(m - 5)^2$
  • $(m - 5)(m - 5)$

Jawaban: $(m - 5)(m + 5)$

Bilangan 25 merupakan kuadrat dari 5 ($5^2$). Mengikuti pola selisih dua kuadrat $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ dengan $A = m$ dan $B = 5$, hasil pemfaktorannya adalah $(m - 5)(m + 5)$. Opsi B keliru karena tidak mengakarkan 25, sedangkan opsi C dan D keliru karena merupakan bentuk kuadrat binomial $(m - 5)^2 = m^2 - 10m + 25$.

Bentuk A^2 - B^2 dapat difaktorkan menjadi (A - B)(A + B)

Menyederhanakan Pangkat 4

Variabel berpangkat empat bisa disederhanakan dengan memperlakukan kuadrat dari variabel tersebut sebagai satu kesatuan utuh.

Ketika melihat suku berderajat empat seperti $x^4$, jangan langsung merasa rumit. Mengingat sifat eksponen, kita tahu bahwa:

$$x^4 = (x^2)^2$$

Artinya, sebuah polinomial berderajat empat seperti $x^4 + x^2 + 1$ sebenarnya memiliki struktur yang sama dengan persamaan kuadrat biasa. Bayangkan kita mengantongi $x^2$ ke dalam satu variabel pengganti $u = x^2$. Bentuknya akan langsung terlihat akrab:

$$u^2 + u + 1$$

Dengan mengubah cara pandang ini, kita tidak perlu takut menghadapi pangkat empat. Semua konsep dasar aljabar pada pangkat dua tetap berlaku seutuhnya, asalkan kita memperlakukan $x^2$ sebagai satu kesatuan blok.

Tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah:

  • Bentuk $x^4 - 16$ sama saja dengan $(x^2)^2 - 4^2$. — Benar
  • Bentuk $x^4 + 3x^2$ identik polanya dengan $y^2 + 3y^2$ jika $y = x$. — Salah

Pernyataan pertama Benar karena $x^4 = (x^2)^2$ dan $16 = 4^2$, sehingga bentuknya adalah selisih kuadrat $((x^2)^2 - 4^2)$. Pernyataan kedua Salah karena jika $x^2$ diganti $y$, suku $x^4$ menjadi $y^2$ dan suku $3x^2$ menjadi $3y$, sehingga bentuknya adalah $y^2 + 3y$, bukan $y^2 + 3y^2$.

Bentuk pangkat empat dapat direpresentasikan sebagai kuadrat dari variabel pangkat dua

Trik Menambah dan Mengurang

Kita bisa memunculkan bentuk kuadrat sempurna dengan menambahkan dan mengurangkan suatu suku yang sama, tanpa mengubah nilai aslinya.

Sebuah kuadrat sempurna dari penjumlahan dua suku memiliki pola:

$$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$$

Sekarang perhatikan suku banyak pada soal: $x^4 + x^2 + 1$. Jika ujung depannya $(x^2)^2$ dan ujung belakangnya $1^2$, kita menginginkan bentuk kuadrat sempurna $(x^2 + 1)^2$. Namun, jika dijabarkan:

$$(x^2 + 1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$$

Bentuk yang kita miliki di soal hanyalah $x^4 + x^2 + 1$. Artinya, kita kekurangan tepat satu buah suku $x^2$.

Ilustrasi timbangan seimbang dengan balok beban dan balon gas penyeimbang di satu sisi.

Di sinilah kita menggunakan strategi memasang dan melepas blok penyeimbang di timbangan. Kita boleh menambahkan satu beban suku $x^2$ ke dalam ekspresi, asalkan pada saat bersamaan kita juga memasang beban pengurang $-x^2$. Dengan begitu nilainya tetap sama dan seimbang:

$$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$$

Tiga suku pertama kini sudah menjadi kuadrat sempurna, sehingga persamaannya dapat diringkas menjadi:

$$(x^2 + 1)^2 - x^2$$