Rahasia di Balik Kuadrat Suku Dua

Mengurai Perkalian Binomial

Bentuk kuadrat dari penjumlahan dua suku harus dijabarkan dengan mengalikan setiap suku satu per satu, tidak bisa langsung dikuadratkan masing-masing. Sebuah ekspresi dua suku dinamakan Binomial. Menguadratkan bentuk binomial $(a + b)$ berarti mengalikan bentuk tersebut dengan dirinya sendiri, yaitu $(a + b)(a + b)$. Operasi ini bekerja menggunakan Sifat Distributif—layaknya membagikan paket satu per satu ke setiap ruangan agar tidak ada bagian yang terlewat.

Diagram area persegi yang terbagi menjadi empat bagian untuk mengilustrasikan penjabaran a+b ²

Secara geometris maupun aljabar, perkalian $(a + b)(a + b)$ menyebarkan suku-sukunya menjadi empat bagian luas:

  1. Suku pertama dikalikan suku pertama: $a \times a = a^2$

  2. Suku pertama dikalikan suku kedua: $a \times b = ab$

  3. Suku kedua dikalikan suku pertama: $b \times a = ba$

  4. Suku kedua dikalikan suku kedua: $b \times b = b^2$

Karena perkalian bersifat komutatif, nilai $ba$ sama persis dengan $ab$. Saat keduanya digabungkan, kita memperoleh $ab + ab = 2ab$. Pola yang sama berlaku pada variabel apa pun, misalnya $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Manakah bentuk penjabaran yang benar dari kuadrat binomial $(p + q)^2$?

  • p^2 + q^2
  • p^2 + 2pq + q^2
  • p^2 + pq + q^2
  • p^2 - 2pq + q^2

Jawaban: p^2 + 2pq + q^2

Bentuk $(p+q)^2$ berarti $(p+q)(p+q)$. Sifat distributif menghasilkan $p^2 + pq + qp + q^2$. Karena $qp = pq$, suku tengah dijumlahkan menjadi $2pq$, sehingga bentuk akhirnya adalah $p^2 + 2pq + q^2$. Opsi A salah karena menghilangkan suku tengah, Opsi C salah karena lupa faktor pengali 2, dan Opsi D salah tanda.

Penjabaran kuadrat binomial menghasilkan tiga suku yang meliputi kuadrat masing-masing suku awal ditambah dua kali hasil kali keduanya.

Menyusun dan Mensubstitusi

Bentuk penjabaran kuadrat dapat dikelompokkan ulang untuk mencocokkan informasi yang diketahui pada soal. Dari pemahaman perkalian Binomial di halaman sebelumnya, kita telah memperoleh identitas aljabar:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Perhatikan bahwa suku-suku penjumlahan bersifat komutatif, sehingga urutannya bebas kita ubah. Kita dapat menyatukan suku-suku kuadrat ke dalam satu kelompok:

$$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$$

Pengelompokan ini mempermudah proses Substitusi—yakni mengganti variabel dengan nilai bilangan yang sudah diketahui dari soal. Pada soal, kita diberikan dua informasi kunci:

Ketika kita memasukkan informasi ini ke dalam kerangka penjabaran, bentuknya berubah menjadi:

$$(a + b)^2 = 40 + 2(-8)$$

Eksekusi Tanda dan Hasil Akhir

Penyelesaian persamaan aljabar menuntut ketelitian pada operasi bilangan bertanda untuk mendapatkan hasil akhir yang akurat. Dari proses Substitusi sebelumnya, kita memiliki kerangka perhitungan $(a + b)^2 = 40 + 2(-8)$.

Langkah berikutnya adalah menuntaskan operasi perkalian sebelum penjumlahan:

  1. Hitung suku perkalian bertanda: $2 \times (-8) = -16$

  2. Selesaikan operasi penjumlahan aljabar: $40 + (-16) = 40 - 16 = 24$

Dengan demikian, nilai dari $(a + b)^2$ adalah $24$, yang memastikan bahwa Opsi C adalah jawaban yang benar.

Memahami alur ini juga memperjelas mengapa opsi lainnya tidak tepat:

Tentukan kebenaran dari pernyataan perhitungan matematika berikut ini berdasarkan langkah substitusi identitas aljabar:

  • Nilai akhir dari operasi $40 + 2(-8)$ adalah 24. — Benar
  • Operasi $40 + (-8)$ mengacu pada substitusi tanpa perkalian faktor dua pada $ab$. — Benar

Pernyataan 1 Benar karena $2 \times (-8) = -16$, sehingga $40 + (-16) = 40 - 16 = 24$. Pernyataan 2 Benar karena tanpa faktor pengali 2 pada suku tengah $2ab$, operasi hanya menyisakan $40 + (-8) = 32$, yang menghasilkan jawaban keliru.

Memeriksa perhitungan akhir pada operasi substitusi gabungan bilangan bulat positif dan negatif.