Deret Geometri Ganjil: Melompat Rasio
Lompat Batu: Kenapa Rasionya Berubah?
Bayangkan suku-suku dalam deret geometri itu seperti deretan batu pijakan di sungai.
Di deret awal (batu 1, 2, 3, 4, ...), tiap kali kamu melangkah ke batu berikutnya, jarak atau pengalinya adalah rasio ($r$). Dari batu 1 ke batu 2, kamu mengalikan nilai batu dengan $r$.
Tapi, soal meminta kita menjumlahkan suku-suku pada urutan ganjil saja ($U_1 + U_3 + U_5 + \dots$). Artinya, kamu melompat dari batu 1 langsung mendarat di batu 3, melewati batu 2 di tengah!
Karena kamu melompat dua kali lipat dalam satu waktu, efek pengalinya juga terjadi dua kali: $r \times r = r^2$.
Jadi, untuk deret yang khusus berisi suku ganjil ini:
Suku pertamanya tetap sama, yaitu batu pertama ($a$).
Rasio barunya berubah menjadi $r^2$.
Merakit Rumus Sementara
Sekarang kita sudah tahu dua komponen inti untuk deret ganjil kita: suku pertamanya adalah $a$ dan rasio barunya adalah $r^2$.
Tugas kita sekarang cuma menempelkan komponen yang baru kita dapatkan di halaman sebelumnya ke dalam kerangka rumus tersebut.
Suku Pertama $\rightarrow$ diganti $a$
Rasio $\rightarrow$ diganti $r^2$
Maka, kita mendapatkan rumus sementara untuk jumlah suku-suku ganjil:
Rumus ini sudah benar secara matematis, tapi perjuangan kita belum selesai. Kalau kamu intip opsi jawaban di soal, tidak ada satu pun pilihan yang masih menggunakan huruf $a$. Semuanya dinyatakan murni dalam huruf $S$ dan $r$.
Artinya, kita harus mencari trik untuk "menyingkirkan" huruf $a$ ini di langkah berikutnya!
Berdasarkan konsep melompat suku tadi, mengapa rumus deret tak hingga untuk suku ganjil menjadi $S_{ganjil} = \frac{a}{1 - r^2}$?
- A. Karena suku pertamanya menjadi $a^2$ dan rasionya $r^2$.
- B. Karena suku pertamanya tetap $a$ tapi rasionya dikuadratkan akibat melewati satu suku.
- C. Karena rumus deret tak hingga selalu membagi dengan kuadrat rasionya.
- D. Karena jumlah suku ganjil selalu setengah dari total deret.
Jawaban: B. Karena suku pertamanya tetap $a$ tapi rasionya dikuadratkan akibat melewati satu suku.
Rumus deret tak hingga selalu Suku Pertama / (1 - Rasio). Karena kita cuma ambil suku ganjil, suku pertama tetap $a$, tapi rasionya melompat jadi $r^2$.
Suku pertama deret ganjil tetap 'a', namun rasionya menjadi 'r^2' karena melompati satu suku.
Menyingkirkan Huruf 'a'
Tujuan kita sekarang adalah membongkar rumus asli deret untuk mencari tahu "nilai $a$ itu setara dengan apa sih, kalau diungkapkan dalam variabel $S$ dan $r$?"
Coba kita buka kembali informasi pertama yang diberikan oleh soal: Diketahui jumlah total deret geometri adalah $S$.
Tuliskan rumus jumlah deret tak hingga untuk kondisi awalnya:
Karena $a$ saat ini sedang memegang status dibagi dengan $(1-r)$, maka saat pembagi $(1-r)$ itu kita pindahkan menyeberangi tanda sama dengan, ia akan berbalik menjadi pengali. Kalikan kedua sisi persamaan dengan $(1-r)$, dan kita akan mendapati bentuk:
Sempurna! Sekarang kita sudah memegang "nilai ganti" untuk huruf $a$. Bungkus erat-erat nilai ini, karena inilah yang akan kita substitusikan (masukkan) ke dalam rumus sementara $S_{ganjil}$ yang sudah kita rakit sebelumnya.
Tentukan benar atau salah pernyataan tentang manipulasi aljabar rumus deret awal berikut ini:
- Nilai $a$ dapat dicari dengan membagi $S$ dengan $(1-r)$. — Salah
- Nilai $a$ setara dengan $S$ dikali $(1-r)$. — Benar
Bentuk aljabar $S = \frac{a}{1-r}$ berarti $S$ sama dengan $a$ dibagi $(1-r)$. Untuk mencari $a$, kita kalikan silang sehingga $a = S(1-r)$.
Nilai 'a' diisolasi dengan memindahkan pembagi (1-r) menjadi pengali di sisi sebelahnya, menghasilkan a = S(1-r).