Operasi Himpunan: Jangan Sampai Ada yang Nyusup

Mendaftar Anggota Ekskul

Langkah pertama sebelum melakukan operasi himpunan adalah mendaftar semua anggotanya dengan teliti sesuai syarat.

Melihat notasi himpunan dengan pembatas variabel seperti $\{x \mid x < 8\}$ sering kali membuat kita ingin langsung menebak hasil akhirnya. Agar tidak terjebak, bayangkan setiap himpunan seperti daftar presensi kelompok ekstrakurikuler (ekskul) di sekolah. Sebelum kita mencari tahu siapa yang ikut kegiatan gabungan atau lomba bersama, kita harus menuliskan nama-nama anggota di tiap lembar presensi terlebih dahulu.

Ingat bahwa bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang selalu dimulai dari angka $1, 2, 3, \dots$ (tanpa angka 0 dan bilangan negatif). Mari kita daftarkan anggota dari ketiga ekskul pada soal:

• Ekskul $P$ memiliki syarat $x < 8$ dan $x \in \text{Bilangan Asli}$. Karena tandanya kurang dari ($<$), batas angka 8 tidak ikut dimasukkan:

  $$P = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$$

• Ekskul $Q$ berisi kelipatan 3 dengan syarat $x \leq 12$ dan $x \in \text{Bilangan Asli}$. Karena menggunakan tanda $\leq$, angka 12 ikut masuk:

  $$Q = \{3, 6, 9, 12\}$$

• Ekskul $R$ berisi bilangan asli yang merupakan faktor pembagi habis dari 6:

  $$R = \{1, 2, 3, 6\}$$

Irisan: Anak yang Ikut Keduanya

Irisan (simbol $\cap$) hanya memuat anggota yang benar-benar ada di semua himpunan yang diiriskan; jika absen di salah satu, ia tidak masuk hitungan.

Ibaratnya, kita ingin mencari siswa yang terdaftar aktif di dua ekskul sekaligus, yaitu ekskul Basket ($P$) dan ekskul Futsal ($Q$). Jika seorang siswa hanya ikut salah satu ekskul, ia tidak boleh dimasukkan ke dalam daftar irisan ($\cap$).

Mari kita bandingkan daftar anggota dari kedua himpunan tersebut:

$$P = \{1, 2, \mathbf{3}, 4, 5, \mathbf{6}, 7\}$$

$$Q = \{\mathbf{3}, \mathbf{6}, 9, 12\}$$

Hanya ada dua angka yang tercantum di lembar presensi $P$ sekaligus $Q$, yaitu angka $3$ dan $6$. Oleh karena itu:

$$P \cap Q = \{3, 6\}$$

Gabungan: Kumpulkan Semuanya

Operasi yang ada di dalam kurung harus diselesaikan lebih dulu, lalu hasilnya digabungkan tanpa menulis ulang anggota yang sama.

Sama seperti aturan hitung aljabar biasa, operasi di dalam tanda kurung, yaitu $(P \cap Q)$, memegang prioritas tertinggi. Setelah kita mendapatkan hasil irisan pada tahap sebelumnya:

$$(P \cap Q) = \{3, 6\}$$

Langkah berikutnya adalah mencari gabungan ($\cup$) dengan ekskul $R$:

$$(P \cap Q) \cup R = \{3, 6\} \cup \{1, 2, 3, 6\}$$

Operasi gabungan ($\cup$) ibarat mengumpulkan semua anak dari kedua kelompok ke dalam satu lapangan untuk acara perkemahan bersama. Semua anggota disatukan ke dalam satu daftar presensi baru. Angka yang sama (yaitu $3$ dan $6$) sudah diwakili oleh orang yang sama, sehingga cukup dituliskan satu kali tanpa pengulangan:

$$(P \cap Q) \cup R = \{1, 2, 3, 6\}$$

Hasil ini membuktikan bahwa Opsi A adalah jawaban yang benar.