Menjinakkan Persamaan 3 Variabel

Melihat Persamaan sebagai Paket Belanja

Mengubah soal cerita menjadi persamaan matematika sama seperti membuat daftar isi dari sebuah paket belanjaan.

Dalam matematika, huruf $x$, $y$, dan $z$ bukanlah mantra rumit, melainkan sekadar label harga untuk setiap jenis barang:

Tiga keranjang belanja di atas meja kasir toko alat tulis, keranjang pertama berisi buku, pensil, dan bolpoin lengkap, sementara dua keranjang lainnya hanya berisi dua jenis barang.

Setiap pembeli di toko alat tulis membawa keranjang belanjaan dengan komposisi unik:

Kumpulan tiga persamaan ini disebut SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel).

Pilih Target Eliminasi Paling Gampang

Variabel yang harus dieliminasi pertama kali adalah variabel yang sudah sama jumlahnya di dua persamaan.

Ketika dihadapkan pada tiga persamaan, siswa sering bingung menentukan variabel mana yang harus disingkirkan terlebih dahulu. Kuncinya sederhana: cari barang yang kuantitasnya persis sama tanpa perlu dikalikan lagi.

Mari kita cermati Paket Andi dan Paket Cici:

Kedua keranjang ini sama-sama memiliki $3$ bolpoin. Jika kita mengurangkan Paket Andi dengan Paket Cici, seluruh bolpoin akan lenyap seketika!

Secara aljabar, proses eliminasi (menghilangkan satu variabel) ini ditulis sebagai berikut:

$$\begin{aligned} (3x + 2y + 3z) - (4y + 3z) &= 21.000 - 13.500 \\ 3x + (2y - 4y) + (3z - 3z) &= 7.500 \\ 3x - 2y &= 7.500 \quad \text{(Paket Baru)} \end{aligned}$$

Dengan menyingkirkan bolpoin ($z$), masalah yang awalnya melibatkan $3$ variabel kini berhasil diturunkan menjadi relasi antara $2$ variabel saja ($x$ dan $y$).

Diberikan tiga persamaan: (1) 2a + b + 5c = 10, (2) a + 4b = 8, dan (3) 3a + b + 2c = 15. Variabel manakah yang paling cepat dan efisien untuk dieliminasi terlebih dahulu dengan mengurangkan Persamaan (1) dan (3)?

  • Variabel a, karena variabel pertama dalam abjad selalu menjadi prioritas utama eliminasi
  • Variabel b, karena koefisiennya pada kedua persamaan sudah sama bernilai satu
  • Variabel c, karena berada di bagian ujung persamaan sehingga paling mudah dicoret
  • Variabel a dan c sekaligus, karena keduanya memiliki koefisien bernilai positif

Jawaban: Variabel b, karena koefisiennya pada kedua persamaan sudah sama bernilai satu

Koefisien b pada Persamaan (1) dan (3) sudah bernilai sama (yaitu 1). Cukup dengan mengurangkan Persamaan (1) dan (3), variabel b langsung habis tanpa perlu mengalikan persamaan dengan angka lain terlebih dahulu. Pilihan A salah karena mengeliminasi a membutuhkan perkalian, dan pilihan C salah karena koefisien c (5 dan 2) harus disamakan menjadi 10 terlebih dahulu.

Memilih variabel yang paling efisien untuk dieliminasi pertama kali

Dari Tiga Menjadi Dua: Eksekusi

Setelah satu variabel hilang, satukan persamaan baru dengan persamaan lama yang memiliki sisa variabel yang sama.

Dari langkah eliminasi sebelumnya, kita memperoleh persamaan baru yang hanya memuat buku ($x$) dan pensil ($y$):

Ingat kembali bahwa sejak awal toko mencatat Paket Budi yang juga hanya berisi buku dan pensil:

Kini kita menghadapi sistem dua variabel (SPLDV) biasa. Untuk menyelesaikannya, samakan koefisien salah satu variabel, misalnya variabel $y$:

$$\begin{aligned} 2x + 3y = 11.500 \quad &(\times 2) \implies 4x + 6y = 23.000 \\ 3x - 2y = 7.500 \quad &(\times 3) \implies 9x - 6y = 22.500 \end{aligned}$$

Jumlahkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi $y$:

$$13x = 45.500 \implies x = 3.500$$

Harga $1$ buku tulis ($x$) adalah Rp$3.500$.

Setelah satu harga ditemukan, lakukan substitusi (memasukkan nilai yang diketahui) secara berurutan:

  1. Masukkan $x = 3.500$ ke Paket Budi:

    $$2(3.500) + 3y = 11.500 \implies 7.000 + 3y = 11.500 \implies y = 1.500$$

    Harga $1$ pensil ($y$) adalah Rp$1.500$.

  2. Masukkan $y = 1.500$ ke Paket Cici untuk mendapatkan harga bolpoin ($z$):

    $$4(1.500) + 3z = 13.500 \implies 6.000 + 3z = 13.500 \implies z = 2.500$$

    Harga $1$ bolpoin ($z$) adalah Rp$2.500$.