Menaklukkan Operasi Biner dan Akar Irasional

Mesin Resep dan Penjabaran

Simbol operasi baru hanyalah mesin pengolah yang sering kali resepnya bisa disederhanakan sebelum dipakai.

Dalam matematika, ketika kamu melihat simbol asing seperti lingkaran bertitik $\odot$, jangan panik. Simbol tersebut menandakan operasi biner, yaitu aturan buatan untuk mengolah dua bilangan masukan ($x$ dan $y$) menjadi satu bilangan baru. Anggap simbol $\odot$ ini seperti merek sebuah mesin resep makanan: kamu memasukkan bahan baku $x$ dan $y$, lalu mesin akan mencampurnya sesuai rumus yang diprogram.

Sebelum memasukkan bahan apa pun, kita bisa "menyervis" mesinnya terlebih dahulu agar alur kerjanya jauh lebih ringan. Mesin di soal memiliki resep pembilang berupa:

$$(x + y)^2 - 2xy$$

Jika kita bongkar bentuk kuadrat binomialnya:

$$(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + 2xy + y^2$$

Ketika digabungkan kembali ke pembilang resep aslinya:

$$(x^2 + 2xy + y^2) - 2xy = x^2 + y^2$$

Bagian $+2xy$ dan $-2xy$ saling meniadakan! Resep mesin yang awalnya tampak bertumpuk kini menjadi sangat ringkas:

$$x \odot y = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$$

Pola penyederhanaan bentuk aljabar seperti ini sangat sering kamu jumpai saat mengerjakan materi fungsi komposisi, limit fungsi, maupun deret aljabar.

Sebuah mesin resep aljabar memiliki aturan pengolahan bahan: $(a - b)^2 + 2ab$. Jika disederhanakan sebelum dipakai, bentuk akhir resep mesin tersebut menjadi...

  • a^2 + b^2
  • a^2 - b^2
  • a^2 - 4ab + b^2
  • (a - b)^2 + b^2

Jawaban: a^2 + b^2

Penjabaran kuadrat binomial (a - b)^2 menghasilkan a^2 - 2ab + b^2. Jika ditambahkan dengan 2ab, maka suku -2ab dan +2ab saling meniadakan (berjumlah 0), menyisakan a^2 + b^2. Opsi B salah tanda pada b^2, sedangkan Opsi C keliru mengurangi 2ab lagi.

Penyederhanaan aljabar bentuk kuadrat binomial pengurangan yang ditambah suku perkalian.

Memasukkan Bahan ke Mesin

Mensubstitusikan nilai yang diketahui ke bentuk sederhana aljabar akan menghasilkan persamaan yang lebih mudah diselesaikan.

Sekarang kita gunakan versi mesin yang sudah rapi:

$$x \odot y = \frac{x^2 + y^2}{x + y}$$

Soal memberikan informasi bahwa jika bahan $y = 3$ dimasukkan, mesin mengeluarkan hasil olahan bernilai $4$ ($x \odot 3 = 4$). Mari kita masukkan bahan-bahan ini ke dalam resep:

$$\frac{x^2 + 3^2}{x + 3} = 4$$

$$\frac{x^2 + 9}{x + 3} = 4$$

Untuk menyingkirkan bentuk pecahan, kalikan kedua ruas dengan penyebutnya yaitu $(x + 3)$:

$$x^2 + 9 = 4(x + 3)$$

$$x^2 + 9 = 4x + 12$$

Pindahkan seluruh suku ke ruas kiri agar tersusun menjadi bentuk persamaan kuadrat standar $ax^2 + bx + c = 0$:

$$x^2 - 4x + 9 - 12 = 0$$

$$x^2 - 4x - 3 = 0$$

Saat Resep Tak Bisa Ditebak

Gunakan rumus abc saat persamaan kuadrat macet atau tidak bisa difaktorkan dengan coba-coba bilangan bulat.

Ketika berhadapan dengan persamaan $x^2 - 4x - 3 = 0$, naluri pertama kita biasanya mencoba memfaktorkannya menjadi dua kurung $(x + p)(x + q) = 0$. Kita mencari dua bilangan bulat yang jika dikalikan bernilai $-3$, dan jika dijumlahkan bernilai $-4$.

Namun, faktor bulat dari $-3$ hanyalah $(1, -3)$ dan $(-1, 3)$. Keduanya menghasilkan jumlah $-2$ atau $2$, bukan $-4$. Cara tebakan bilangan bulat ini menemui jalan buntu. Ini bukan berarti persamaan tidak memiliki penyelesaian, melainkan akar-akarnya bukanlah bilangan bulat.

Saat pemfaktoran cepat tidak bisa digunakan, alat andalan kita adalah rumus abc:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Dari persamaan $x^2 - 4x - 3 = 0$, kita punya $a = 1$, $b = -4$, dan $c = -3$:

$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$$

Karena $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$, maka:

$$x = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$$

Ingat syarat bahan baku dari soal: nilai $x$ harus berupa bilangan real positif. Karena $\sqrt{7} \approx 2{,}65$, nilai $2 - \sqrt{7}$ akan negatif. Oleh karena itu, nilai $x$ yang memenuhi adalah:

$$x = 2 + \sqrt{7}$$

Diberikan persamaan kuadrat $x^2 - 2x - 5 = 0$. Apa alasan terbaik untuk langsung menggunakan rumus abc ketimbang memaksakan pemfaktoran kurung $(x + \dots)(x - \dots)$?

  • Karena koefisien a bernilai 1, sehingga rumus abc otomatis selesai lebih cepat.
  • Tidak ada pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya -5 dan jumlahnya -2.
  • Karena nilai konstanta c merupakan bilangan ganjil negatif.
  • Karena diskriminan dari persamaan tersebut dipastikan bernilai negatif.

Jawaban: Tidak ada pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya -5 dan jumlahnya -2.

Metode pemfaktoran coba-coba (x + p)(x + q) hanya bekerja cepat jika p dan q berupa bilangan bulat rasional. Karena faktor bulat dari -5 hanya (1, -5) dan (-1, 5) yang keduanya tidak berjumlah -2, maka akarnya irasional sehingga rumus abc adalah jalur terbaik. Opsi A keliru karena koefisien a = 1 justru ideal untuk pemfaktoran biasa jika akarnya bulat, dan Opsi C keliru karena banyak persamaan dengan konstanta ganjil negatif tetap bisa difaktorkan.

Menentukan kapan harus beralih dari pemfaktoran coba-coba ke rumus abc saat akar kuadrat irasional.