Pemodelan Matematis Peluruhan Geometri Bertingkat

Memodelkan Transisi: Definisi Rasio

Bayangkan kamu sedang menyaring kopi. Filter pertama menahan sebagian ampas, tapi sebagian kecil masih lolos. Saat kamu menaruh filter kedua, filter itu hanya akan menyaring dari sisa ampas yang lolos tadi, bukan dari total ampas awal sebelum filter pertama.

Inilah prinsip dasar dari barisan dan deret geometri pada proses bertingkat. Kesalahan terbesar saat memodelkan kasus seperti ini adalah terlalu fokus pada apa yang "dibuang" atau tersaring. Padahal, untuk tau hasil akhir, kita harus fokus pada apa yang dipertahankan (lolos) ke tahap berikutnya.

Mari kita terjemahkan intuisi ini ke bahasa matematika. Misalkan kuantitas awal polutan kita sebut $P_0 = 100$. Tingkat reduksi (yang dibuang) adalah $p = 40 = 0{,}4$.

Kuantitas yang berhasil lolos dari filter pertama ($P_1$) adalah total awal dikurangi yang tersaring: $P_1 = P_0 - (p \times P_0)$

Kita bisa memfaktorkan persamaan di atas menjadi: $P_1 = P_0(1 - p)$

Dalam barisan geometri, relasi antar tahap didefinisikan sebagai $P_n = P_{n-1} \times r$, di mana $r$ adalah rasio pengali konstan. Jika kita bandingkan bentuknya, rasio ini sejatinya adalah: $r = 1 - p$

Dengan tingkat reduksi $p = 0{,}4$, kita dapatkan rasio $r = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$. Angka $0{,}6$ inilah jantung dari pemodelan kita.

Jika sebuah filter menyaring 25% kotoran, berapakah rasio ($r$) yang harus kita gunakan untuk memodelkan sisa kotoran pada deret geometri?

  • A. $0{,}25$
  • B. $0{,}75$
  • C. $1{,}25$
  • D. $-0{,}25$

Jawaban: B. $0{,}75$

Rasio adalah persentase yang LOLOS ke tahap selanjutnya. Jika 25% tersaring, maka 100% - 25% = 75% atau $0{,}75$ yang tersisa.

Rasio ($r$) pada peluruhan adalah persentase kuantitas yang dipertahankan, bukan yang dibuang.

Komposisi Fungsi: Iterasi n Langkah

Kita sudah punya aturan mainnya: setiap kali melewati satu lapisan filter, sisa polutan sebelumnya dikali $0{,}6$. Bagaimana jika air harus melewati rangkaian $3$ lapisan filter secara berurutan?

Proses bertingkat dengan rasio konstan ini pada dasarnya adalah perkalian berulang. Jika filter pertama menyisakan $P_0 \times r$, filter kedua menyisakan $(P_0 \times r) \times r$, dan seterusnya. Perkalian berulang inilah yang dalam matematika diekspresikan sebagai fungsi eksponensial.

Bentuk eksplisit deret geometri untuk langkah ke-$n$ adalah: $P_n = P_0 \times r^n$

Sekarang kita bisa mengeksekusi model ini dengan data dari soal. Kita ingin mencari sisa polutan di tahap ke-3 ($n = 3$), dari kadar awal $P_0 = 100$, dengan rasio $r = 0{,}6$:

$P_3 = 100 \times (0{,}6)^3$

Mari kita bongkar aljabarnya: $(0{,}6)^3 = 0{,}6 \times 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}216$

Maka: $P_3 = 100 \times 0{,}216 = 21{,}6$

Sebuah zat berkurang sehingga sisanya adalah setengah ($0{,}5$) dari sebelumnya setiap jam. Jika awalnya ada $100$ gram, bentuk eksponensial mana yang tepat untuk mencari sisa zat setelah 4 jam?

  • A. $100 \times (0{,}5)^4$
  • B. $100 - (0{,}5 \times 4)$
  • C. $100 \times 4^{0{,}5}$
  • D. $100 \times (1 - 0{,}5 \times 4)$

Jawaban: A. $100 \times (0{,}5)^4$

Proses bertingkat dengan rasio konstan adalah perkalian berulang (eksponensial), dirumuskan sebagai $P_0 \times r^n$.

Iterasi $n$ langkah pada deret geometri dimodelkan dengan fungsi eksponensial $P_0 \times r^n$.

Eksponensial vs Reduksi Linier

"Kalau satu filter menyaring $40$, berarti $3$ filter menyaring $40 + 40 + 40 = 120$, kan? Airnya pasti bersih total!"

Pernyataan II pada soal mengandung jebakan mematikan ini. Penjumlahan persentase secara langsung berasumsi bahwa proses tersebut bekerja menggunakan model linier, padahal kita sudah sepakat bahwa proses ini adalah model eksponensial (geometri).

Mengapa model linier salah besar di sini? Model linier mengasumsikan persentase pemotongan selalu dihitung dari basis awal ($P_0$). Secara matematis, rumus reduksi linier adalah: $S_n = P_0 - n(p \times P_0)$

Jika kita masukkan $n = 3$ dan $p = 40$: $S_3 = 100 - 3(40) = 100 - 120 = -20$

Kuantitas polutan fisik bersisa negatif adalah kemustahilan. Di dunia nyata, filter kedua hanya menyaring $40$ dari sisa filter pertama, yang volumenya sudah lebih kecil. Basisnya mengecil secara dinamis, sehingga jumlah mutlak yang disaring juga makin mengecil.

Coba geser slider pada grafik di atas. Pada model peluruhan eksponensial $\lim_{n \to \infty} P_0(0{,}6)^n$, karena rasio berada di rentang $0 < r < 1$, kurvanya akan melandai dan terus mendekati angka $0$ (sumbu-x) seiring bertambahnya $n$.

Sifat ini disebut asimtotik. Secara teoretis, seberapapun banyaknya filter yang dijejerkan ($n$ menuju tak hingga), sisa polutan tidak akan pernah benar-benar mencapai kemutlakan $0$. Karenanya, pernyataan bahwa air bebas polutan seutuhnya adalah kesimpulan yang tidak logis.

Tentukan benar atau salah: Pada model peluruhan geometri dengan rasio $0 < r < 1$, kuantitas akan benar-benar habis menjadi $0$ setelah iterasi yang cukup banyak.

  • Kuantitas akan mencapai angka nol mutlak pada iterasi tertentu. — Salah
  • Nilainya hanya akan terus mengecil mendekati nol (asimtotik) tanpa pernah menyentuhnya. — Benar

Model peluruhan geometri selalu menyisakan sekian persen dari tahap sebelumnya, sehingga nilainya tidak akan pernah persis nol.

Peluruhan eksponensial mendekati nol secara asimtotik di ruang kontinu, tidak pernah mencapai nol mutlak.