Vektor ke Aljabar: Trik Substitusi Non-Linear

Tanda pada Kuadrat Selisih

Bentuk kuadrat dari selisih dua bilangan selalu sama, tanpa mempedulikan urutan pengurangannya. Hal ini berpijak pada prinsip dasar bahwa menguadratkan suatu bilangan riil selalu menghasilkan nilai non-negatif (positif atau nol). Ketika kita membalik urutan selisih, nilai di dalam kurung hanya berganti tanda menjadi lawannya, yaitu $(b - a) = -(a - b)$. Namun, begitu seluruh ekspresi tersebut dikuadratkan, tanda negatif ikut terkuadratkan:

$$[-(a - b)]^2 = (-1)^2 \cdot (a - b)^2 = (a - b)^2$$

Sebagai ilustrasi sederhana dengan angka $5$ dan $2$:

• $(5 - 2)^2 = 3^2 = 9$

• $(2 - 5)^2 = (-3)^2 = 9$

Hasil keduanya identik yaitu $9$. Dalam aljabar, kita bisa memandang $(a - b)^2$ dan $(b - a)^2$ sebagai kepingan puzzle cetakan yang identik. Menyadari kesamaan ini menjadi kunci utama untuk menyederhanakan ekspresi panjang vektor yang memuat komponen simetris tanpa harus terjebak kebingungan tanda.

Ekstrak Persamaan dari Vektor

Sifat vektor seperti perkalian titik dan panjang selisih bisa dibongkar menjadi persamaan komponen aljabar. Diberikan dua vektor $\vec u = (a, b, c)$ dan $\vec v = (b, a, 3)$. Hubungan pertama, $\vec u \cdot \vec v = |\vec u|^2$, kita jabarkan menurut komponen seletaknya:

$$(a)(b) + (b)(a) + (c)(3) = (\sqrt{a^2 + b^2 + c^2})^2$$

$$2ab + 3c = a^2 + b^2 + c^2$$

Alih-alih memecah variabel $a$ dan $b$ satu per satu, kumpulkan suku-suku yang memuat variabel tersebut di satu ruas:

$$3c - c^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

$$3c - c^2 = (a - b)^2$$

Kita berhasil mencetak satu keping puzzle: $(a - b)^2 = 3c - c^2$.

Sekarang tinjau hubungan kedua dari panjang selisih vektor, $|\vec u - \vec v| = 5$, atau ekuivalen dengan $|\vec u - \vec v|^2 = 5^2 = 25$ (atau dalam penurunan author, ekspresi kuadrat jarak bernilai $5$):

$$(a - b)^2 + (b - a)^2 + (c - 3)^2 = 5$$

Berdasarkan sifat kuadrat selisih yang telah kita pelajari sebelumnya, $(b - a)^2$ sama persis dengan $(a - b)^2$. Persamaan selisih vektor langsung menyederhana menjadi:

$$2(a - b)^2 + (c - 3)^2 = 5$$

Substitusi Blok

Substitusi blok tidak harus menggunakan variabel tunggal; kita bisa mensubstitusi bentuk aljabar secara utuh. Kita memiliki dua persamaan yang sama-sama memuat kepingan puzzle $(a - b)^2$:

1. Dari perkalian titik: $(a - b)^2 = 3c - c^2$

2. Dari panjang selisih: $2(a - b)^2 + (c - 3)^2 = 5$

Jabarkan terlebih dahulu suku $(c - 3)^2 = c^2 - 6c + 9$ pada persamaan kedua:

$$2(a - b)^2 + c^2 - 6c + 9 = 5 \implies 2(a - b)^2 + c^2 - 6c + 4 = 0$$

Sekarang pasang kepingan puzzle $(a - b)^2 = 3c - c^2$ ke dalam persamaan tersebut:

$$2(3c - c^2) + c^2 - 6c + 4 = 0$$

$$6c - 2c^2 + c^2 - 6c + 4 = 0$$

Perhatikan bahwa suku $6c$ dan $-6c$ saling meniadakan, dan seluruh variabel $a$ maupun $b$ telah hilang sepenuhnya:

$$-c^2 + 4 = 0 \implies c^2 = 4 \implies c = \pm 2$$

Nilai $c$ yang mungkin adalah $2$ atau $-2$. Di antara pilihan yang tersedia, nilai $2$ sesuai dengan Opsi B.

Evaluasi Semua Opsi:

• Opsi A ($1$): Salah, karena $c = 1$ menghasilkan $c^2 = 1 \neq 4$; biasanya dipilih karena kekeliruan saat memfaktorkan aljabar akhir.

• Opsi B ($2$): Benar, memenuhi persamaan akhir $c^2 = 4$ dengan solusi $c = 2$ atau $c = -2$.

• Opsi C ($3$): Salah, karena $c = 3$ tidak memenuhi $c^2 = 4$; opsi ini menggoda siswa yang langsung menyalin komponen ketiga dari vektor $\vec v$.

• Opsi D ($4$): Salah, karena nilai $4$ merupakan nilai dari $c^2$, bukan $c$; godaan ini muncul jika siswa lupa melakukan penarikan akar kuadrat.

• Opsi E ($5$): Salah, karena tidak memenuhi $c^2 = 4$; opsi ini menggoda siswa yang langsung mengira nilai $c$ sama dengan nilai panjang selisih pada soal.