Anatomi Lingkaran dan Potongannya

Mencari Jari-jari dari Luas

Jari-jari adalah kunci utama pembuka soal lingkaran, yang bisa dicari dengan membalik rumus luas.

Dalam geometri lingkaran, bayangkan lingkaran sebagai sebuah loyang pizza utuh. Seluruh area permukaan pizza beserta toppingnya adalah luas daerah lingkaran, sedangkan jari-jari ($r$) adalah garis lurus dari titik pusat tepat ke pinggir loyang. Begitu kamu menemukan panjang jari-jari, pintu menuju seluruh ukuran lainnya langsung terbuka.

Lingkaran berarsir penuh dengan luas 9 pi dan jari-jari r = 3

Rumus luas lingkaran utuh adalah:

Pada soal, diketahui luas daerah lingkaran adalah $9\pi$. Kita masukkan nilai ini ke dalam persamaan:

Bagi kedua ruas dengan $\pi$ (atau coret $\pi$ di kedua sisi):

Langkah pertama ini membuktikan bahwa Pernyataan 1 bernilai benar.

Menghitung Keliling Lingkaran

Setelah jari-jari diketahui, keliling lingkaran utuh dapat langsung ditentukan.

Jika luas adalah seluruh topping di atas loyang, maka keliling adalah panjang seluruh pinggiran roti pizza utuh (crust) yang melingkari pizza tersebut. Kita tinggal melanjutkan checklist perhitungan menggunakan jari-jari $r = 3$ yang sudah didapat sebelumnya.

Lingkaran dengan garis pinggir luar ditebalkan menunjukkan keliling 6 pi dan r = 3 di bagian dalam

Rumus untuk mengukur keliling lingkaran penuh adalah:

Substitusikan nilai $r = 3$ ke rumus keliling:

Dengan demikian, panjang garis lengkung yang membatasi lingkaran utuh tersebut adalah $6\pi$. Perhitungan ini membuktikan bahwa Pernyataan 2 bernilai benar.

Sebuah taman berbentuk lingkaran memiliki luas $16\pi\text{ m}^2$. Berapakah panjang lintasan lari mengelilingi taman tersebut satu kali putaran penuh?

  • 16\pi meter
  • 8\pi meter
  • 4\pi meter
  • 32\pi meter

Jawaban: 8\pi meter

Luas lingkaran adalah $L = \pi r^2 = 16\pi$, sehingga $r^2 = 16$ dan didapat jari-jari $r = 4$ meter. Keliling lingkaran utuh dirumuskan dengan $K = 2\pi r$, sehingga $K = 2\pi(4) = 8\pi$ meter. Opsi A keliru karena menyamakan nilai keliling dengan luas. Opsi C keliru karena hanya menempelkan $\pi$ ke jari-jari ($r\pi$). Opsi D keliru karena mengalikan luas dengan 2.

Jari-jari digunakan untuk mencari keliling lingkaran penuh.

Proporsi Sudut dan Busur

Rasio panjang busur terhadap keliling utuh sama dengan rasio sudut pusat terhadap satu putaran penuh.

Bayangkan sekarang kita mengambil satu potong pizza. Pinggiran melengkung pada potongan itu disebut busur, sedangkan bukaan sudut di ujung lancip potongan (titik pusat $O$) disebut sudut pusat.

Lingkaran dibagi menjadi 6 juring sama besar menyorot busur pi dan sudut 60 derajat

Panjang pinggiran pizza utuh (keliling) adalah $6\pi$, sedangkan pinggiran potongan kita (panjang busur $MN$) adalah $\pi$. Mari kita bandingkan porsi potongan tersebut terhadap lingkaran penuh:

Artinya, potongan tersebut tepat merupakan $\frac{1}{6}$ bagian dari lingkaran utuh. Karena satu putaran penuh lingkaran memiliki sudut pusat sebesar $360^\circ$, sudut pusat juring tersebut adalah:

Hasil perhitungan ini membuktikan bahwa Pernyataan 4 bernilai benar.