Menaklukkan Mesin Hitung Bersimbol Aneh

Membedah Simbol Operasi Buatan

Simbol unik pada soal hanyalah penanda posisi angka yang harus dimasukkan ke dalam rumus bawaannya.

Banyak siswa merasa panik ketika melihat simbol aneh seperti tilde ($\sim$), bintang ($\star$), atau pagar ($\#$), lalu mengiranya sebagai rumus misterius baku yang belum pernah dipelajari di sekolah. Sebenarnya, simbol tersebut hanyalah penamaan untuk sebuah operasi buatan—aturan perhitungan baru yang sengaja diciptakan khusus untuk soal itu saja.

Bayangkan simbol operasi tersebut seperti sebuah mesin pabrik:

• Huruf $a$ di sisi kiri adalah cerobong input pertama.

• Huruf $b$ di sisi kanan adalah cerobong input kedua.

• Bentuk aljabar di ruas kanan, yaitu $(a^2 + b)/2$, adalah resep pengolahan bahan mentah di dalam mesin.

• Hasil perhitungan akhirnya adalah produk atau output yang keluar dari mesin.

Aturan pada soal kita berbunyi: $a \sim b = (a^2 + b)/2$. Artinya, mesin ini bekerja dengan urutan:

1. Ambil bilangan di posisi kiri ($a$), lalu kuadratkan.

2. Tambahkan hasilnya dengan bilangan di posisi kanan ($b$).

3. Bagi seluruh hasil penjumlahan tersebut dengan dua.

Sebagai contoh, jika mesin ini diminta memproses angka $2$ dan $3$, yaitu $2 \sim 3$, maka posisi $a$ diisi oleh $2$ dan posisi $b$ diisi oleh $3$:

$$2 \sim 3 = \frac{2^2 + 3}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2}$$

Perhatikan bahwa jika posisinya dibalik menjadi $3 \sim 2$, hasilnya akan berbeda karena angka yang dikuadratkan berganti. Posisi angka mendikte seluruh jalannya rumus!

Menghubungkan Mesin Bertingkat

Operasi berlapis dikerjakan dengan menjadikan output mesin pertama sebagai input mesin kedua.

Saat menghadapi operasi yang bersarang seperti $1 \sim (2 \sim 3)$, aturan hierarki matematika tetap berlaku teguh: selalu selesaikan operasi yang berada di dalam kurung terlebih dahulu. Tanda kurung memberitahu kita proses mana yang harus rampung sebelum mesin berikutnya boleh menyala.

Pada tahap pertama, kita sudah mengolah bagian di dalam kurung:

$$2 \sim 3 = \frac{2^2 + 3}{2} = \frac{7}{2}$$

Hasil $7/2$ tersebut merupakan output mesin pertama yang harus dialirkan kembali menjadi bahan mentah alias input bagi mesin di lapisan luar. Dengan mengganti $(2 \sim 3)$ menjadi $7/2$, bentuk soal kini tersisa menjadi:

$$1 \sim \frac{7}{2}$$

Sekarang, angka $1$ bertindak sebagai input kiri ($a$), sementara pecahan $7/2$ bertindak sebagai input kanan ($b$). Jangan pernah berhenti sebelum seluruh lapisan kurung terselesaikan!

Trik Menghitung Pecahan Bertingkat

Membagi pecahan dengan suatu bilangan bulat sama persis dampaknya dengan mengalikan bilangan bulat itu ke penyebut pecahan.

Setelah mendapatkan bahan untuk lapisan kedua, kita masukkan angka $1$ dan pecahan $7/2$ ke dalam rumus mesin:

$$1 \sim \frac{7}{2} = \frac{1^2 + \frac{7}{2}}{2} = \frac{1 + \frac{7}{2}}{2}$$

Langkah pertama adalah menyelesaikan bagian pembilang dengan menyamakan penyebut. Angka $1$ diubah menjadi $2/2$:

$$\frac{\frac{2}{2} + \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{9}{2}}{2}$$

Bentuk ini disebut pecahan bertingkat, yaitu pecahan yang pembilangnya masih memuat pecahan lain.

Membagi suatu bagian dengan $2$ sama artinya dengan memotong setiap bagian menjadi dua bagian yang lebih kecil. Secara aljabar, membagi pecahan dengan bilangan bulat $2$ setara dengan mengalikan penyebutnya dengan $2$:

$$\frac{\frac{9}{2}}{2} = \frac{9}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$$

Inilah sebabnya Opsi B ($9/4$) adalah jawaban yang tepat.