Maksimalin Kombinasi: Batas Variabel

Coba-Coba Angka

Jika jumlah dua bilangan kuadrat dibatasi, nilai masing-masing variabelnya tidak bisa maksimal secara bersamaan. Bayangkan kamu sedang bermain jungkat-jungkit dengan total beban maksimal 1 kg. Jika beban di satu sisi ($p^2$) sudah mengambil jatah penuh 1 kg, maka sisi lainnya ($q^2$) terpaksa harus berbobot 0 kg. Keduanya tidak bisa sama-sama bernilai maksimal (1 kg) pada saat yang bersamaan.

Saat melihat ekspresi $pr + qs$, godaan paling umum adalah langsung melakukan metode substitusi angka ekstrem: menganggap $p=1$, $q=1$, $r=1$, dan $s=1$. Jika keempat variabel ini langsung dikalikan, kita akan mendapatkan $(1)(1) + (1)(1) = 2$ (inilah jebakan Opsi B). Namun, mari kita uji kembali ke syarat awal: jika $p = 1$ dan $q = 1$, maka nilai $p^2 + q^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Hasil ini jelas melanggar persamaan awal yang mematok nilainya tepat sama dengan $1$.

Maka, variabel $p$ dan $q$ harus saling berbagi "jatah" nilai 1. Jika $p = 1$, maka nilai $q$ harus bernilai $0$. Sebaliknya, jika $q = 1$, maka $p$ yang harus menjadi $0$. Keduanya terikat dalam satu aturan kapasitas yang sama.

Diberikan persamaan $m^2 + n^2 = 1$. Jika $m = 0,8$, berapakah nilai $n$ terbesar yang mungkin agar persamaan tersebut tetap bernilai benar?

  • 1,0
  • 0,6
  • 0,2
  • 0,8

Jawaban: 0,6

Jika $m = 0,8$, maka $m^2 = (0,8)^2 = 0,64$. Dari persamaan $m^2 + n^2 = 1$, sisa nilai untuk $n^2$ adalah $1 - 0,64 = 0,36$. Nilai $n$ terbesar yang mungkin adalah $\sqrt{0,36} = 0,6$. Opsi 1 keliru karena mengabaikan $m$, opsi 0,2 salah karena hanya menghitung $1 - 0,8$ tanpa kuadrat, dan opsi 0,8 salah karena mengasumsikan $n$ harus sama dengan $m$.

Memahami batasan nilai jika dua variabel terikat persamaan jumlah kuadrat yang tetap.

Lingkaran Jari-Jari Satu

Persamaan $p^2+q^2=1$ menggambarkan semua kemungkinan titik yang berada tepat pada tepi lingkaran dengan jari-jari 1. Jika kita membayangkan $p$ sebagai sumbu mendatar dan $q$ sebagai sumbu tegak pada bidang koordinat, setiap pasangan nilai $(p, q)$ yang memenuhi syarat tersebut akan selalu jatuh persis di garis lengkung lingkaran tersebut.

Grafik koordinat kartesius lingkaran satuan berpusat di origin dengan titik 1,1 berada di luar batas lingkaran.

Titik $(1, 1)$ yang sering dipakai saat menebak nilai variabel berada jauh di luar batas tepi lingkaran. Jarak titik $(1, 1)$ dari pusat lingkaran adalah $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41$, yang melebihi batas jari-jari 1. Pemahaman geometris ini menunjukkan bahwa nilai $p, q, r, s$ masing-masing sangat terkekang di dalam batas lingkaran jari-jari satu, sehingga kombinasi perkalian $pr + qs$ tidak mungkin menghasilkan angka sebesar 4 (Opsi D) apalagi 5 (Opsi E).

Manipulasi Aljabar

Bentuk ekspresi target dapat dimunculkan dengan mengalikan kedua persamaan yang diketahui. Kita memiliki dua fakta utama dari soal, yaitu $p^2 + q^2 = 1$ dan $r^2 + s^2 = 1$. Langkah awal yang strategis adalah mengalikan kedua persamaan ini secara utuh:

$$(p^2 + q^2)(r^2 + s^2) = 1 \times 1 = 1$$

Mari kita jabarkan hasil perkalian suku-sukunya satu per satu:

$$p^2r^2 + p^2s^2 + q^2r^2 + q^2s^2 = 1$$

Perhatikan bahwa kita ingin memunculkan bentuk $pr + qs$. Jika bentuk $(pr + qs)$ dikuadratkan, hasilnya adalah $(pr + qs)^2 = p^2r^2 + 2pqrs + q^2s^2$. Terdapat suku tengah $2pqrs$ yang belum ada di penjabaran awal kita. Untuk menyeimbangkannya secara adil, kita dapat mengelompokkan keempat suku tersebut menggunakan sebuah identitas aljabar (dikenal sebagai identitas Brahmagupta-Fibonacci):

$$(pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 = p^2r^2 + 2pqrs + q^2s^2 + p^2s^2 - 2pqrs + q^2r^2$$

Suku $+2pqrs$ dan $-2pqrs$ saling menghilangkan, sehingga ruas kiri persis kembali ke $p^2r^2 + p^2s^2 + q^2r^2 + q^2s^2$. Dengan demikian, persamaan perkalian tadi berubah bentuk menjadi:

$$(pr + qs)^2 + (ps - qr)^2 = 1$$

Tentukan kebenaran pernyataan berikut mengenai penjabaran perkalian dua bentuk kuadrat $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$.

  • Hasil penjabaran $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ memiliki empat suku yang merupakan perkalian silang variabel. — Benar
  • Hasil perkalian $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ selalu bernilai sama persis dengan bentuk $(ac+bd)^2$. — Salah

Pernyataan 1 Benar: perkalian $(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ saat dijabarkan menghasilkan 4 suku, yaitu $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$. Pernyataan 2 Salah: $(ac+bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2$, yang belum memuat suku $a^2d^2 + b^2c^2 - 2abcd$; bentuk lengkapnya membutuhkan tambahan suku $(ad-bc)^2$ sesuai identitas aljabar.

Memahami penjabaran aljabar dari perkalian dua bentuk kuadrat.