Jebakan Jarak: Bedanya Luas dan Jumlah Titik

Misteri Tiang Jemuran

Bayangkan kamu mau menjemur pakaian. Kamu punya tali lurus sepanjang 5 meter, dan kamu ingin memasang tiang penyangga di setiap jarak 1 meter dari ujung ke ujung.

Berapa banyak tiang yang kamu butuhkan? Seringkali, intuisi pertama kita adalah langsung membagi: $5 \text{ meter} \div 1 \text{ meter} = 5$ tiang. Terdengar masuk akal, kan?

Tapi, mari kita lihat kenyataannya!

Kalau kita telusuri tiangnya dari awal sampai akhir:

Tiang ke-1 ada di pangkal (0 meter).
Tiang ke-2 di titik 1 meter.
...dan seterusnya sampai Tiang ke-6 di ujung (5 meter).

Panjang talinya memang 5 meter (artinya ada 5 rentang/ruang), tapi jumlah tiangnya ternyata ada 6!

Dalam matematika dan ilmu komputer, jebakan ini sangat terkenal dan disebut Fencepost Error (Kesalahan Tiang Pagar).

Sebuah jalan lurus sepanjang 10 meter akan dipasangi lampu taman setiap jarak 2 meter. Ada berapa lampu yang dibutuhkan dari ujung ke ujung jalan?

A. 4 lampu
B. 5 lampu
C. 6 lampu
D. 7 lampu

Jawaban: C. 6 lampu

Panjang jalan 10 meter dibagi jarak 2 meter menghasilkan 5 rentang (spans). Karena lampu dipasang di titik (bukan rentang), jumlah lampu adalah 5 + 1 = 6.

Jumlah titik penyekat (lampu) selalu lebih banyak satu dari jumlah rentang (jarak).

Dari Garis ke Lantai Ubin

Sekarang, bagaimana kalau konsep "Tiang Jemuran" yang cuma 1 Dimensi (garis lurus) tadi kita bawa ke lapangan berbentuk 2 Dimensi (luasan)?

Bayangkan sebuah lantai berukuran 2 x 3 meter. Lantai itu ditutup dengan ubin berukuran 1x1 meter. Kalau kita ditanya berapa luas lantai tersebut, tentu jawabannya $2 \times 3 = 6$ meter persegi. Ada 6 kotak ubin.

Tapi, saat menghitung kapasitas orang dengan jarak minimal 1 meter, orang-orang itu tidak berdiri di dalam kotak ubinnya. Mereka berdiri sebagai titik di perpotongan garis ubin tersebut.

Coba mainkan slider di bawah ini untuk melihat bedanya menghitung "Kotak (Luas)" vs menghitung "Titik Orang"!

Sama seperti tiang jemuran, kita harus menerapkan aturan "tambah 1" untuk setiap sisinya (panjang dan lebar) sebelum mengalikannya:

Sisi panjang (3 meter): Punya $3 + 1 = 4$ titik berdiri.
Sisi lebar (2 meter): Punya $2 + 1 = 3$ titik berdiri.

Maka total orang yang berdiri di sudut-sudut ubin adalah $4 \text{ baris} \times 3 \text{ kolom} = 12$ orang. Jauh lebih besar dari luas murninya (6), kan?

Inilah alasan kenapa langsung mengalikan luas tidak akan memberikan jumlah objek yang benar.

Bayangkan sebuah ruangan 4 x 4 meter. Jika orang berdiri dengan jarak 1 meter di setiap perpotongan (grid), berapa SELISIH antara 'luas ruangan' dengan 'jumlah orang maksimal'?

A. 0
B. 4
C. 9
D. 16

Jawaban: C. 9

Luas = 4 x 4 = 16 meter persegi (ruang). Jumlah orang = (4+1) x (4+1) = 5 x 5 = 25 titik. Selisihnya adalah 25 - 16 = 9.

Jumlah titik (orang) dalam grid 2D dihitung dengan menambahkan 1 pada sisi panjang dan lebar sebelum keduanya dikalikan.

Mari Kembali ke Lapangan

Berbekal konsep Fencepost di 2 Dimensi tadi, mari kita bedah kembali lapangan upacara SMA TICA!

Lapangan tersebut berukuran $30$ meter $\times 80$ meter. Aturan COVID-19 mengharuskan jarak minimal $1$ meter antarorang.

Kalau saat awal ngerjain kamu terbayang angka $2.400$ (dari $30 \times 80$), wajar. Tapi angka itu adalah Luas Lapangan (ruang kosongnya), bukan jumlah titik berdirinya.

Mari kita hitung jumlah orangnya pakai logika yang sudah kita pelajari:

Untuk sisi 30 meter: Ada $(30 \div 1) + 1 = 31$ baris orang.
Untuk sisi 80 meter: Ada $(80 \div 1) + 1 = 81$ kolom orang.

Maka, maksimal peserta upacara (Nilai A) adalah hasil kali dari baris dan kolom tersebut: $A = 31 \times 81 = 2.511$ orang.

Sekarang, mari kita bandingkan dengan Nilai B: $A = 2.511$ $B = 2.500$

Karena $2.511 > 2.500$, maka kesimpulannya jelas: A > B.