Fungsi Misterius: Dari Kata ke Aljabar

Menerjemahkan Bahasa Teks

Pernahkah kamu merasa nge-blank saat membaca soal matematika berbentuk cerita, sampai bingung harus mulai dari mana memisalkannya? Kunci pertamanya adalah menerjemahkan kata kunci teks menjadi bentuk aljabar yang pasti.

Di soal ini, ada kalimat sakti: "$g(x)$ berbentuk garis lurus". Dalam matematika, grafik yang berbentuk garis lurus selalu berasal dari fungsi linear (berderajat satu), yang memiliki format standar yang sangat terkenal: $ax+b$. Karena itu, tanpa ragu kita bisa memisalkan: $g(x) = ax+b$

Bagaimana dengan bentuk $h(x)$? Soal memberikan petunjuk kedua: $g(x) + h(x) = 3x+5$. Perhatikan hasilnya, $3x+5$ adalah fungsi linear juga. Aturan penjumlahan polinomial (suku banyak) menyatakan bahwa derajat hasil penjumlahan tidak akan melebihi derajat suku-suku penyusunnya. Jika sebuah fungsi linear $g(x)$ ditambah "sesuatu" hasilnya tetap linear, maka "sesuatu" itu alias $h(x)$ maksimal haruslah sebuah fungsi linear juga.

Jadi, kita punya keberanian untuk memisalkan $h(x)$ dengan fungsi linear lain, misalnya $h(x) = px+q$.

Sekarang kita tidak lagi meraba-raba di ruang gelap; kita sudah punya representasi rumus yang jelas untuk $g(x)$ dan $h(x)$!

Jika diketahui $f(x)$ adalah fungsi kuadrat (mengandung suku $x^2$) dan hasil penjumlahan $f(x) + k(x)$ adalah sebuah fungsi linear berderajat satu, apa kesimpulan yang paling tepat tentang bentuk $k(x)$?

  • A. $k(x)$ pasti berupa fungsi linear juga
  • B. $k(x)$ pasti memiliki suku $-x^2$ di dalamnya
  • C. $k(x)$ tidak mungkin berbentuk fungsi kuadrat
  • D. $k(x)$ pasti merupakan angka konstan

Jawaban: B. $k(x)$ pasti memiliki suku $-x^2$ di dalamnya

Derajat penjumlahan polinomial maksimal sama dengan derajat fungsi tertingginya. Agar $x^2$ dari $f(x)$ hilang dan hasilnya jadi linear, $k(x)$ harus punya "penawar"-nya, yaitu suku $-x^2$.

Agar hasil penjumlahan fungsi turun derajatnya menjadi linear, fungsi penambah harus memiliki suku pangkat tertinggi yang berlawanan tanda untuk saling meniadakan.

Menyusun Arena Persamaan

Setelah punya "kostum" aljabar untuk fungsi kita ($g(x)=ax+b$ dan $h(x)=px+q$), langkah berikutnya adalah memasukkannya ke dalam arena yang diberikan soal.

Soal bilang: $(h \circ g)(x) = -(4x+7)$. Ini artinya fungsi komposisi: fungsi $g(x)$ ditelan oleh fungsi $h(x)$. Ingat, apa pun inputnya, fungsi $h$ akan mengalikannya dengan $p$ lalu menambahkannya dengan $q$.

Lakukan substitusi secara hati-hati: $h(g(x)) = p(ax+b) + q$ $h(g(x)) = (pa)x + (pb+q)$

Nah, sekarang mari kita jejerkan hasil kita dengan hasil yang diminta soal: $(pa)x + (pb+q) = -4x - 7$

ilustrasi

Dengan prinsip itu, kita bisa memisahkan persamaan panjang di atas menjadi dua kelompok (menjodohkan yang sejenis):

  1. Geng $x$: Koefisien $x$ di kiri harus sama dengan di kanan $\rightarrow$ $pa = -4$

  2. Geng Konstanta (angka tanpa $x$): $pb+q = -7$

Lakukan hal yang persis sama untuk petunjuk $g(x) + h(x) = 3x+5$: $(ax+b) + (px+q) = 3x+5$ $(a+p)x + (b+q) = 3x+5$

Jodohkan lagi berdasarkan kelompoknya: 3. Geng $x$: $a+p = 3$ 4. Geng Konstanta: $b+q = 5$

Sekarang arena kita sudah siap: kita punya empat persamaan!

Strategi Mengurai Benang Kusut

Oke, ambil napas. Kita sekarang punya 4 persamaan dengan 4 huruf misterius ($a, b, p, q$):

  1. $pa = -4$

  2. $pb+q = -7$

  3. $a+p = 3$

  4. $b+q = 5$

Melihat empat persamaan sekaligus bisa bikin panik. Di sinilah letak "aha moment"-nya: Jangan kerjakan semuanya sekaligus!

Perhatikan baik-baik. Persamaan (1) dan (3) hanya mengandung huruf $a$ dan $p$. Mereka membentuk satu circle atau subsistem tersendiri yang terisolasi dari $b$ dan $q$. Ini adalah celah emas kita!

Mari kita selesaikan 'Tumpukan $a$ dan $p$' dulu dengan teknik substitusi. Dari persamaan (3): $a+p = 3 \Rightarrow$ $p = 3-a$

Sekarang substitusikan nilai $p$ ini ke persamaan (1): $p \times a = -4$ $(3-a)a = -4$ $3a - a^2 = -4$

Pindahkan semua ke satu sisi agar $a^2$ menjadi positif (membentuk persamaan kuadrat yang rapi): $a^2 - 3a - 4 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: $(a+1)(a-4) = 0$

Voila! Kita memecah kebuntuan 4 variabel hanya dengan berfokus pada dua variabel yang saling terhubung terlebih dahulu.

Saat menghadapi sistem dengan 4 variabel ($a, b, p, q$), mengapa strategi kita adalah menyelesaikan 'geng' yang hanya memuat $a$ dan $p$ terlebih dahulu?

  • A. Karena $a$ dan $p$ merupakan koefisien $x$ yang nilainya lebih penting.
  • B. Aturan matematika mewajibkan pengerjaan berdasarkan urutan abjad.
  • C. Karena menyelesaikan dua variabel yang terisolasi jauh lebih mungkin daripada memecahkan empat variabel sekaligus.
  • D. Variabel konstanta ($b$ dan $q$) sering kali bernilai nol sehingga bisa diabaikan di awal.

Jawaban: C. Karena menyelesaikan dua variabel yang terisolasi jauh lebih mungkin daripada memecahkan empat variabel sekaligus.

Dalam aljabar, kita hanya bisa menyelesaikan persamaan jika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel. Dengan memisahkan sistem 4 variabel menjadi 2 subsistem masing-masing 2 variabel, masalah jadi bisa dipecahkan!

Mengelompokkan variabel yang saling terkait (subsistem) memungkinkan kita memecahkan sistem bertahap lewat substitusi, menghindari kebuntuan dari terlalu banyak variabel (unsolvable at once).