Merangkai Aljabar Titik Puncak

Menerjemahkan Rumus ke Variabel

Pernah lihat fungsi kuadrat yang isinya ada huruf selain $x$? Di soal ini kita ketemu dengan fungsi $y = 3x^2 + 6px + 3p - 1$. Rasanya mungkin agak aneh karena biasanya kita lihat angka, tapi prinsipnya sama aja!

Mari kita bongkar fungsi tersebut ke dalam bentuk umumnya, yaitu $y = ax^2 + bx + c$. Jika kita petakan, kita akan dapat:

• $a = 3$ (angka di depan $x^2$)

• $b = 6p$ (semua yang menempel pada $x$)

• $c = 3p - 1$ (sisa suku yang tidak punya $x$)

Rumus andalan kita untuk mencari absis titik puncak adalah $x_p = -\frac{b}{2a}$. Sekarang, tinggal kita masukkan nilai $a$ dan $b$ yang sudah kita identifikasi tadi: $x_p = -\frac{6p}{2(3)}$ $x_p = -\frac{6p}{6} = -p$

Di soal disebutkan kalau puncaknya ada di koordinat $(m, m)$. Artinya, absis puncaknya adalah $m$. Jadi, kita dapat satu informasi penting: $m = -p$. Simpan dulu hubungan ini, bakal kepakai nanti!

Substitusi: Hati-Hati dengan Tanda!

Kita sudah tahu bahwa nilai $x$ untuk titik puncaknya adalah $x_p = -p$. Selanjutnya, gimana cara nyari koordinat $y$-nya (ordinat puncak, alias $y_p$)? Sama seperti mencari nilai $y$ pada fungsi umumnya, kita tinggal memasukkan nilai $x_p$ ke dalam fungsi awal.

Fungsi awal kita adalah $f(x) = 3x^2 + 6px + 3p - 1$. Ganti setiap huruf $x$ di situ dengan $(-p)$.

Mari kita jabarkan perlahan: $y_p = 3(-p)^2 + 6p(-p) + 3p - 1$

Ingat, $(-p)^2$ berarti $(-p) \times (-p) = p^2$. Tanda negatifnya jadi positif! $y_p = 3(p^2) - 6p^2 + 3p - 1$

Sekarang, kumpulkan suku-suku yang sejenis (sama-sama punya $p^2$): $y_p = -3p^2 + 3p - 1$

Nah, kita sudah punya bentuk akhir dari $y_p$.

Menyatukan x_p dan y_p

Sampai di sini kita punya: $x_p = -p$ $y_p = -3p^2 + 3p - 1$

Lalu, apa hubungannya? Ingat kembali informasi dari soal bahwa koordinat titik puncaknya adalah $(m, m)$.

Mari kita samakan hasil $x_p$ dari halaman 1 dengan hasil $y_p$ dari halaman 2.

$-p = -3p^2 + 3p - 1$

Untuk bisa mencari nilai $p$, kita harus memindahkan semua suku ke satu sisi agar sisi lainnya menjadi $0$, membentuk persamaan kuadrat standar. Mari kita pindahkan semua suku di ruas kanan ke ruas kiri: $3p^2 - 3p - p + 1 = 0$ $3p^2 - 4p + 1 = 0$

Selanjutnya, faktorkan persamaan kuadrat ini: $(3p - 1)(p - 1) = 0$

Dari sini, kita dapatkan dua kemungkinan nilai $p$:

• $3p - 1 = 0 \implies p = \frac{1}{3}$

• $p - 1 = 0 \implies p = 1$