Membongkar Barisan Aritmatika dari Nol
Mencari Pola Rahasia
Pernahkah kamu memperhatikan anak tangga? Berapapun tingginya kamu naik, jarak tiap pijakannya selalu sama. Nah, barisan aritmatika itu persis seperti anak tangga, tapi dalam bentuk angka.
Dalam barisan aritmatika, selisih antara satu angka ke angka berikutnya itu selalu sama persis. Nilai yang selalu konstan ini kita sebut sebagai beda (disimbolkan dengan $b$).
Mari kita lihat barisan dari soalmu: $10, 2, -6, -14, \dots$
Coba amati apa yang terjadi pada setiap langkahnya:
Dari $10$ ke $2$, angkanya turun 8 (dikurangi 8).
Dari $2$ ke $-6$, angkanya juga turun 8.
Dari $-6$ ke $-14$, angkanya lagi-lagi turun 8.
Titik mulai kita (suku pertama yang disimbolkan dengan $a$) adalah $10$, dan "ukuran pijakan anak tangga" kita (beda atau $b$) adalah $-8$.
Perhatikan barisan berikut: -4, 1, 6, 11, ... Berapakah beda dari barisan tersebut?
- A. -5
- B. 5
- C. 4
- D. -4
Jawaban: B. 5
Suku setelahnya dikurangi suku sebelumnya: 1 - (-4) = 5. Angkanya makin besar, jadi bedanya harus positif.
Beda pada barisan aritmatika dihitung dari suku setelahnya dikurangi suku sebelumnya, memperhatikan arah perubahannya (positif/negatif).
Berapa Kali Harus Melompat?
Banyak orang yang bingung dan sekadar menghafal rumus suku ke-$n$, yaitu $U_n = a + (n-1)b$. Pertanyaan terbesarnya adalah: Dari mana datangnya $(n-1)$? Kenapa dikurangi $1$?
Bayangkan kamu sedang berdiri di atas ubin pertama (ini adalah $U_1$ atau suku pertama).
Untuk sampai ke ubin ke-2 ($U_2$), kamu butuh 1 lompatan.
Untuk sampai ke ubin ke-3 ($U_3$), kamu butuh 2 lompatan.
Artinya, jumlah lompatan yang kamu lakukan selalu SATU lebih sedikit dari ubin tujuanmu. Karena titik awalmu adalah posisi ke-1, kamu tidak perlu melompat untuk berada di sana.
Jadi, kalau kamu ditanya suku ke-29 ($U_{29}$), kamu sedang ditanya: "Berada di angka berapakah saya kalau saya berdiri di angka pertama, lalu melompat 28 kali ke depan?"
Jika kamu berada di suku pertama (U1) dan ingin mencari nilai dari suku ke-16 (U16), berapa kali lompatan yang harus kamu hitung?
- A. 13 lompatan
- B. 14 lompatan
- C. 15 lompatan
- D. 16 lompatan
Jawaban: C. 15 lompatan
Untuk mencapai urutan ke-n, kita butuh (n-1) lompatan. Jadi untuk suku ke-16, butuh 15 lompatan dari awal.
Jumlah lompatan yang dibutuhkan untuk mencapai suatu suku selalu satu kurangnya dari urutan suku tersebut.
Eksekusi Menuju Suku ke-29
Sekarang kita sudah punya semua kepingan teka-tekinya. Kita satukan kembali logikanya: Nilai yang dicari = Titik Awal + (Total Lompatan $\times$ Ukuran Lompatan)
Dari soal, kita tahu:
Titik Awal ($a$) = $10$
Total Lompatan = $28$ kali (karena kita mencari suku ke-29)
Ukuran Lompatan ($b$) = $-8$
Mari kita susun persamaan matematisnya:
Di tahap ini, yang sering menjebak bukanlah konsep barisannya, melainkan ketelitian berhitung, terutama ketika melibatkan bilangan negatif.
Dengan memahami konsep awalnya, kalaupun suatu saat kamu lupa rumus persisnya, kamu bisa menyusun ulang logika perhitunganmu sendiri. Logika yang kuat akan menuntunmu pada perhitungan yang lebih teliti.