Jalan Tol Menghitung Selisih Kuadrat

Jalan Pintas Aljabar

Pola selisih kuadrat memungkinkan kita menghindari perkalian angka yang sangat besar. Bayangkan kamu diminta menghitung $250^2 - 240^2$. Kalau dihitung secara manual, kamu harus mengalikan $250 \times 250$ dan $240 \times 240$ terlebih dahulu. Cara ini ibarat berkendara lewat jalan biasa yang berliku, macet, serta sangat rawan selip hitungan.

Untungnya, aljabar menyediakan "jalan tol" berupa rumus faktorisasi selisih kuadrat:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Dengan pola ini, operasi perkalian kuadrat yang berat langsung terurai menjadi dua operasi sederhana: pengurangan dan penjumlahan. Angka besar seperti $250$ dan $240$ cukup dikurangkan dan dijumlahkan terlebih dahulu, sehingga proses hitung menjadi jauh lebih ringan dan cepat.

Tentukan apakah pernyataan mengenai cara hitung aljabar berikut Benar atau Salah.

  • Menghitung nilai 100^2 - 99^2 akan lebih cepat jika menggunakan pemecahan (100 - 99)(100 + 99) dibanding menghitung kuadratnya satu per satu. — Benar
  • Bentuk a^2 - b^2 menghasilkan nilai yang sama dengan (a - b)^2 untuk setiap bilangan real. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Menggunakan selisih kuadrat (100 - 99)(100 + 99) = (1)(199) = 199 jauh lebih cepat dibanding menghitung 10.000 - 9.801 secara manual. Pernyataan 2 Salah: Bentuk a^2 - b^2 adalah selisih dua kuadrat yang terurai menjadi (a - b)(a + b), sedangkan (a - b)^2 menghasilkan a^2 - 2ab + b^2. Keduanya berbeda secara matematis.

Pemahaman bahwa bentuk selisih kuadrat dapat dipecah menjadi perkalian selisih dan jumlah

Eksekusi di Akar Kuadrat

Menerapkan faktorisasi jalan tol menyederhanakan perhitungan dalam akar jadi angka yang mudah ditarik akarnya. Saat berhadapan dengan bentuk $\sqrt{250^2 - 240^2}$, kita tidak perlu mencari kuadrat dari masing-masing bilangan. Cukup masukkan kedua angka ke dalam pola selisih kuadrat:

$$\sqrt{250^2 - 240^2} = \sqrt{(250 - 240)(250 + 240)}$$

Selesaikan terlebih dahulu operasi di dalam masing-masing kurung:

Kini bentuk di dalam akar menjadi perkalian bersih yang mudah dihitung:

$$\sqrt{10 \times 490} = \sqrt{4900} = 70$$

Hasil akhirnya adalah 70, yang sesuai dengan Opsi D.

Tanpa jalan pintas ini, deretan angka ribuan sering membuat seseorang merasa kewalahan lalu berakhir menebak acak, seperti memilih Opsi C (68). Tebakan lain seperti Opsi A (60), Opsi B (65), maupun Opsi E (75) juga keliru karena tidak mengikuti akar murni dari hasil faktorisasi $4900$.

Berapakah nilai dari \sqrt{13^2 - 12^2} dengan menggunakan metode selisih kuadrat?

  • 1
  • 5
  • 25
  • \sqrt{12}

Jawaban: 5

Bentuk \sqrt{13^2 - 12^2} dapat diubah dengan rumus selisih kuadrat menjadi \sqrt{(13 - 12)(13 + 12)} = \sqrt{(1)(25)} = \sqrt{25} = 5. Opsi A keliru karena hanya menghitung 13 - 12 tanpa menjumlahkan dan menarik akar. Opsi C keliru karena lupa menarik akar dari 25. Opsi D keliru karena hanya menebak dari angka pada soal.

Menerapkan rumus selisih kuadrat ke dalam bentuk akar kuadrat

Trik Tersembunyi Pythagoras

Mengenali pola bilangan Pythagoras bisa memberikan jalan pintas tambahan tanpa harus berhitung aljabar. Selain menggunakan aljabar, kamu bisa memanfaatkan pola Triple Pythagoras, yaitu kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi relasi $a^2 + b^2 = c^2$ pada segitiga siku-siku.

Salah satu kelompok dasar yang sangat sering muncul di ujian adalah:

$$(7, 24, 25)$$

Perhatikan hubungan pada segitiga siku-siku: jika sisi miringnya $25$ dan salah satu sisi tegaknya $24$, maka sisi tegak lainnya adalah $\sqrt{25^2 - 24^2} = 7$.

Pada soal kita, bilangannya adalah $250$ dan $240$, yang tepat merupakan kelipatan $10$ dari pasangan $(24, 25)$:

Maka sisi yang dicari pasti kelipatan $10$ dari angka $7$, yaitu $7 \times 10 = 70$ (Opsi D). Dengan mengenali pola kelipatan ini, jawaban bisa kamu tentukan dalam hitungan detik tanpa perlu mencoret-coret kertas buram.