Aljabar Dimensi: Bedah Rumus Gas Nyata

Mengabaikan Kurung Tak Penting

Dalam mencari dimensi satu suku, kita hanya perlu meninjau bagian persamaan yang saling dijumlahkan atau dikurangkan dengan suku tersebut. Saat melihat persamaan gas Van der Waals $\left(P + \frac{a}{V^2}\right)(V - b) = R \cdot T$, banyak yang merasa harus menjabarkan atau mengalikan seluruh kurung terlebih dahulu. Padahal, langkah tersebut tidak diperlukan dan justru memperumit perhitungan.

Ilustrasi seseorang memilah dua apel di keranjang yang sama sambil mengabaikan keranjang lain

Persamaan dengan tanda kurung penjumlahan ibarat keranjang apel: suku-suku yang berada di dalam satu kurung yang sama adalah apel-apel sejenis. Di dalam kurung pertama, ada suku $P$ (tekanan) yang dijumlahkan dengan suku $\frac{a}{V^2}$. Menurut prinsip Homogenitas Dimensi, dua suku hanya dapat dijumlahkan jika memiliki dimensi yang persis sama.

Oleh karena itu, kita bisa mengabaikan keranjang lain di sebelahnya, yaitu suku $(V - b)$ maupun ruas kanan $R \cdot T$. Kita cukup mengambil hubungan langsung dari kurung pertama, yaitu:

$$[P] = \left[\frac{a}{V^2}\right]$$

Mengisolasi Variabel dari Pecahan

Variabel yang berada pada posisi pembilang dapat diisolasi dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebutnya. Dari perbandingan suku di kurung pertama, kita telah memperoleh hubungan kesetaraan dimensi $[P] = \left[\frac{a}{V^2}\right]$. Tujuan kita berikutnya adalah melakukan Isolasi Variabel agar konstanta $[a]$ berdiri sendirian di salah satu ruas.

Diagram aljabar isolasi variabel konstanta a dari pecahan dimensi tekanan

Karena $[a]$ berada di posisi pembilang dan dibagi oleh $[V]^2$, operasi kebalikan dari pembagian adalah perkalian. Kita kalikan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari Volume Molar, yaitu $[V]^2$:

$$[P] \cdot [V]^2 = \frac{[a]}{[V]^2} \cdot [V]^2$$

Pada ruas kanan, faktor $[V]^2$ saling membagi (mencoret) sehingga tersisa $[a]$ sendirian. Dengan demikian, bentuk dimensi konstanta $[a]$ menjadi:

$$[a] = [P] \cdot [V]^2$$

Dalam analisis fisika terdapat relasi dimensi $[F] = \left[\frac{k}{x^2}\right]$. Manakah langkah aljabar yang paling tepat untuk mengisolasi dimensi konstanta $k$?

  • Mengalikan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari x.
  • Membagi kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari x.
  • Menambahkan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari x.
  • Memindahkan F ke ruas kanan sebagai pembagi dari x kuadrat.

Jawaban: Mengalikan kedua ruas persamaan dengan kuadrat dari x.

Konstanta k berada pada posisi pembilang dan dibagi oleh x^2. Untuk membebaskan k agar berdiri sendiri, kedua ruas harus dikalikan dengan penyebutnya yaitu x^2, sehingga didapat [k] = [F] \cdot [x]^2. Membaginya lagi (B) justru membuat pangkat penyebut bertambah, sementara penjumlahan (C) atau pemindahan keliru (D) menyalahi aturan aljabar pecahan.

Mengisolasi variabel pembilang dilakukan dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut pecahan tersebut.

Membaca Hasil Jadi Opsinya

Hasil perkalian besaran fisika dapat langsung dibaca dan dicocokkan dengan teks pilihan jawaban tanpa harus mengurai kembali menjadi dimensi dasar M, L, T. Hubungan aljabar yang kita dapatkan adalah:

$$[a] = [P] \cdot [V]^2$$

Kita cukup membaca hubungan ini secara harfiah: Tekanan dikali kuadrat volume molar gas, yang secara persis merupakan pernyataan pada Opsi C.

Mari kita cermati mengapa pilihan lainnya tidak tepat: