Menyiasati Jumlah Deret Ekstra Panjang

Kenapa Blok Geometri Berpola?

Kelompok suku deret geometri dengan ukuran sama akan membentuk barisan geometri baru dengan rasio $R = r^n$.

Bayangkan deret geometri ibarat permainan menyusun balok bertingkat yang diikat per lantai. Jika kita menimbang 10 balok per lantai, lantai kedua akan selalu punya perbandingan berat yang sama dengan lantai pertama. Di matematika, pengelompokan suku-suku berurutan dengan banyak suku yang sama disebut blok deret.

Misalkan kita punya deret geometri dengan suku awal $a$ dan rasio dasar $r$. Jumlah $n$ suku pertama kita sebut Blok 1:

$$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$$

Sekarang amati Blok 2, yaitu penjumlahan $n$ suku berikutnya dari suku ke-$(n+1)$ sampai suku ke-$2n$. Suku pertama pada blok ini adalah $u_{n+1} = a r^n$. Karena jumlah sukunya tetap $n$ suku dan rasionya tetap $r$, jumlah Blok 2 dapat dituliskan langsung:

$$S_{\text{blok 2}} = \frac{a r^n (r^n - 1)}{r - 1} = r^n \times S_n$$

Tiap suku di blok kedua persis berasal dari suku di blok pertama yang dikalikan dengan $r^n$. Faktor pengali inilah yang kita sebut rasio blok ($R = r^n$).

Sebagai ilustrasi sederhana, perhatikan deret geometri $1, 2, 4, 8, 16, 32$ dengan kelompok berukuran $n = 2$:

Perhatikan barisannya: $3, 12, 48$. Faktor pengalinya konstan, yaitu dikali $4$ (didapat dari $r^n = 2^2 = 4$).

Misalkan sebuah deret geometri memiliki suku pertama $a$ dan rasio $r$. Jika suku-sukunya dikelompokkan ke dalam blok berukuran masing-masing 5 suku, berapakah faktor pengali dari jumlah Blok 1 (5 suku pertama) untuk menghasilkan jumlah Blok 2 (suku ke-6 sampai ke-10)?

  • $r^5$
  • $r$
  • $5r$
  • $r - 1$

Jawaban: $r^5$

Jumlah Blok 1 adalah $S_5 = a + ar + \dots + ar^4$. Blok 2 berisi suku ke-6 sampai 10: $ar^5 + ar^6 + \dots + ar^9 = r^5(a + ar + \dots + ar^4) = r^5 \times \text{Blok 1}$. Jadi pengalinya adalah $r^5$. Pengecoh $r$ salah karena mengabaikan bahwa tiap suku melompat sejauh 5 langkah, $5r$ salah karena keliru memperlakukan perpangkatan sebagai perkalian aritmetika, dan $r-1$ terkecoh penyebut rumus deret.

Rasio antar blok deret geometri berukuran n adalah r pangkat n, bukan r.

Menerjemahkan Soal ke Model Blok

Indeks besar seperti $6072$, $4048$, dan $2024$ pada soal merupakan kelipatan bilangan yang sama, mengisyaratkan pendekatan blok deret.

Ketika menghadapi soal dengan indeks ribuan, jangan terpancing untuk mencari nilai awal deret ($a$) dan nilai $r^{2024}$ secara terpisah. Langkah aljabar tersebut akan sangat rumit. Amati polanya:

Ketiga indeks tersebut merupakan kelipatan pas dari $2024$. Artinya, kita dapat membagi deret panjang ini menjadi blok-blok seragam yang masing-masing berisi $2024$ suku.

Diagram batang yang membagi deret 6072 suku menjadi tiga blok berukuran sama masing-masing 2024 suku.

Mari kita tentukan isi masing-masing blok secara berurutan:

  1. Blok 1 (suku ke-$1$ sampai $2024$): Ini adalah $S_{2024}$. Misalkan nilainya adalah $x$.

  2. Blok 2 (suku ke-$2025$ sampai $4048$): Karena jumlah total sampai suku ke-$4048$ adalah $S_{4048} = 25$, maka jumlah di Blok 2 saja adalah $S_{4048} - S_{2024} = 25 - x$.

  3. Blok 3 (suku ke-$4049$ sampai $6072$): Karena jumlah total sampai suku ke-$6072$ adalah $S_{6072} = 105$, maka jumlah di Blok 3 saja adalah $S_{6072} - S_{4048} = 105 - 25 = 80$.

Menyusun dan Memecahkan Persamaan

Karena blok-blok tersebut membentuk barisan geometri, hasil kali silang rasionya membentuk persamaan kuadrat.

Tiga suku barisan geometri yang terbentuk dari nilai-nilai blok kita adalah:

$$\text{Blok 1} = x, \quad \text{Blok 2} = 25 - x, \quad \text{Blok 3} = 80$$

Sifat dasar dari barisan geometri adalah memiliki rasio blok yang konstan di antara dua suku yang berturutan:

$$\frac{\text{Blok 2}}{\text{Blok 1}} = \frac{\text{Blok 3}}{\text{Blok 2}} \implies \frac{25 - x}{x} = \frac{80}{25 - x}$$

Lakukan perkalian silang untuk mengeliminasi pecahan:

$$(25 - x)^2 = 80x$$

Jabarkan suku kuadrat di ruas kiri secara saksama:

$$625 - 50x + x^2 = 80x$$

Pindahkan seluruh suku ke salah satu ruas agar membentuk persamaan kuadrat baku $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$$x^2 - 50x - 80x + 625 = 0$$

$$x^2 - 130x + 625 = 0$$

Untuk memfaktorkan bentuk kuadrat ini, carilah dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $625$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $-130$. Dua bilangan tersebut adalah $-5$ dan $-125$:

$$(x - 5)(x - 125) = 0$$

Dari pemfaktoran tersebut, didapat dua kemungkinan nilai akar:

$$x = 5 \quad \text{atau} \quad x = 125$$

Tiga suku berurutan dari suatu barisan geometri dinyatakan sebagai $y$, $(30 - y)$, dan $150$. Persamaan manakah yang tepat untuk menentukan nilai $y$?

  • $30 - y = \frac{150y}{y}$
  • $(30 - y)^2 = 150y$
  • $150 - (30 - y) = (30 - y) - y$
  • $y(30 - y) = 150$

Jawaban: $(30 - y)^2 = 150y$

Pada barisan geometri, rasio antarsuku berurutan bernilai sama: $\frac{30 - y}{y} = \frac{150}{30 - y}$. Lakukan perkalian silang sehingga diperoleh $(30 - y)^2 = 150y$. Opsi C salah karena menggunakan selisih konstan (rumus barisan aritmetika), opsi D salah karena mengalikan dua suku pertama, dan opsi A salah menyusun pecahan rasio.

Persamaan rasio konstan pada barisan geometri dibentuk dari pembagian antarsuku berurutan.