Trik 3 Detik: Identifikasi Faktor Polinomial

Cek Ulang Tanda Kuadrat

Tanda pada faktor bentuk kuadrat sangat krusial dan bisa diuji lewat hasil jumlah dan kalinya. Saat kamu memfaktorkan bentuk kuadrat $x^2 + bx + c$, kita selalu mencari sepasang bilangan, sebutlah $c_1$ dan $c_2$, yang memenuhi dua syarat sekaligus: jika dikalikan menghasilkan konstanta $c$, dan jika dijumlahkan menghasilkan koefisien $b$.

Pada hasil bagi soal kita, yaitu $x^2 + 3x - 10$, nilai konstantanya bernilai negatif ($-10$). Artinya, kedua angka pasti berlawanan tanda: satu bilangan bernilai positif dan satu bernilai negatif. Karena hasil jumlahnya harus bernilai positif ($+3$), maka angka positif wajib memiliki nilai mutlak yang lebih besar daripada angka negatifnya.

Rahasia Koefisien Polinomial

Koefisien awal dan konstanta akhir dari suku banyak menyimpan rahasia dari perkalian semua faktornya. Bayangkan kita sedang menebak isi kotak rahasia dari label di luarnya. Kita tidak selalu harus membongkar seluruh isi aljabar di tengahnya jika kita bisa membaca label petunjuk di kedua ujung bentuk tersebut.

Ketika tiga faktor linear berkoefisien satu dikalikan, yaitu $(x + c_1)(x + c_2)(x + c_3)$, bentuk hasil ekspansinya adalah:

$$(x + c_1)(x + c_2)(x + c_3) = x^3 + (c_1 + c_2 + c_3)x^2 + (c_1 c_2 + c_1 c_3 + c_2 c_3)x + (c_1 \cdot c_2 \cdot c_3)$$

Dua hal penting langsung terlihat di bagian ujung:

1. Koefisien $x^2$ adalah hasil penjumlahan murni ketiga angka: $c_1 + c_2 + c_3$.

2. Konstanta (suku tanpa $x$) adalah hasil perkalian murni ketiga angka: $c_1 \cdot c_2 \cdot c_3$.

Jalan Pintas Eliminasi Opsi

Kita bisa mengeliminasi opsi salah dalam hitungan detik dengan mengecek hasil kali dan hasil jumlah angkanya saja. Mari kita gunakan trik ini langsung pada soal: suku banyak $P(x) = x^3 + 4x^2 + px - 10$ sudah diketahui memiliki salah satu faktor $(x + 1)$, sehingga nilai $c_1 = 1$.

Dua faktor lainnya kita misalkan $(x + c_2)$ dan $(x + c_3)$. Cukup uji dua syarat sederhana:

1. Syarat Perkalian: $c_1 \cdot c_2 \cdot c_3 = -10$. Karena $c_1 = 1$, maka $c_2 \cdot c_3$ harus menghasilkan $-10$.

2. Syarat Penjumlahan: $c_1 + c_2 + c_3 = 4$ (koefisien $x^2$). Karena $c_1 = 1$, maka $c_2 + c_3$ harus menghasilkan $3$.

Berdasarkan tabel di atas:

• Opsi A bernilai $(-2) \times (-5) = +10$ dan Opsi D bernilai $2 \times 5 = +10$. Keduanya langsung gugur karena hasil kalinya positif.

• Opsi E memiliki perkalian $(-1) \times 10 = -10$, tetapi hasil jumlahnya $(-1) + 10 = 9$, bukan $3$.

• Opsi B memiliki perkalian $2 \times (-5) = -10$, tetapi hasil jumlahnya $2 + (-5) = -3$, bukan $3$.

• Hanya Opsi C yang memenuhi kedua syarat sekaligus: $(-2) \times 5 = -10$ dan $(-2) + 5 = 3$.