Bongkar Transformasi via Matriks

Paradigma Vektor dan Matriks

Sering kali kita membayangkan titik $M(c, d)$ cuma sebagai koordinat di diagram Kartesius. Tapi, kalau kita mau pakai kekuatan penuh aljabar matriks, kita harus menggeser cara pandang kita: titik bisa dipandang sebagai matriks kolom (vektor), yaitu $\begin{bmatrix}c d\end{bmatrix}$.

Nah, kalau titik adalah vektor, lalu transformasi geometri itu apa?

Transformasi geometri (kayak rotasi, refleksi, dilatasi) itu sebetulnya adalah sebuah fungsi. Kalau di aljabar biasa kamu kenal $f(x) = ax$, di geometri (aljabar linear) fungsinya berbentuk $f(v) = Mv$.

Di soal ini, titik $M(c, d)$ dikenai dua transformasi beruntun. Daripada pusing mikirin rumusnya satu-satu, kita bisa wakili masing-masing transformasi pakai satu matriks 2x2. Begitu matriksnya ketemu, urusan geometri berubah jadi murni hitung-hitungan aljabar matriks yang pasti dan nggak rancu.

Dalam paradigma vektor dan matriks, apa peran dari sebuah transformasi geometri?

  • A. Sebuah titik baru yang ditambahkan ke titik awal.
  • B. Sebuah persamaan kuadrat dengan dua variabel.
  • C. Sebuah matriks 2x2 yang bertugas mengalikan vektor titik awal.
  • D. Sebuah konstanta yang menggeser titik awal.

Jawaban: C. Sebuah matriks 2x2 yang bertugas mengalikan vektor titik awal.

Dalam pendekatan aljabar linear, setiap transformasi linier (seperti rotasi atau refleksi) diwakili oleh sebuah matriks 2x2 yang mengalikan vektor titik awalnya (f(v) = Mv).

Transformasi geometri linier dapat dipandang sebagai perkalian matriks 2x2 dengan sebuah vektor (matriks kolom).

Melacak Matriks Tanpa Menghafal

Gimana caranya nemuin matriks 2x2 dari sebuah transformasi tanpa harus buka buku rumus? Rahasianya ada pada vektor basis.

Di dunia 2D, semua titik dibangun dari dua vektor dasar: $i(1,0)$ yang ke kanan, dan $j(0,1)$ yang ke atas. Kolom pertama matriks adalah bayangan dari $i$, dan kolom kedua adalah bayangan dari $j$. Kita tinggal lacak ke mana dua vektor ini pergi!

Mari kita cari dua matriks transformasi dari soal:

1. $T_1$: Rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam Bayangin vektor $i(1,0)$ diputar $90^\circ$ ke kiri, dia bakal berdiri jadi $(0,1)$. Vektor $j(0,1)$ diputar $90^\circ$ ke kiri, dia bakal rebah ke kiri jadi $(-1,0)$. Matriks $T_1$ tinggal disusun dari bayangan mereka: $T_1 = \begin{bmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{bmatrix}$

2. $T_2$: Refleksi terhadap garis $y = -x$ Garis $y = -x$ itu miring ke kiri bawah. Kalau $i(1,0)$ dicerminkan ke situ, jatuhnya ke bawah jadi $(0,-1)$. Kalau $j(0,1)$ dicerminkan ke situ, jatuhnya ke kiri jadi $(-1,0)$. Maka matriks $T_2$: $T_2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 -1 & 0 \end{bmatrix}$

Bagaimana cara membentuk matriks transformasi 2x2 hanya dengan menggunakan vektor basis i(1,0) dan j(0,1)?

  • A. Matriks tersebut dijumlahkan dengan titik awal.
  • B. Baris pertama matriks adalah titik awal, baris kedua adalah titik akhir.
  • C. Kolom pertama adalah bayangan dari (0,1), kolom kedua bayangan dari (1,0).
  • D. Kolom pertama adalah bayangan dari vektor i(1,0), dan kolom kedua bayangan dari vektor j(0,1).

Jawaban: D. Kolom pertama adalah bayangan dari vektor i(1,0), dan kolom kedua bayangan dari vektor j(0,1).

Matriks transformasi 2x2 dibentuk dengan melacak nasib vektor basis: kolom pertama adalah hasil transformasi (1,0), dan kolom kedua adalah hasil transformasi (0,1).

Kolom pertama matriks transformasi adalah bayangan dari vektor i(1,0), dan kolom kedua adalah bayangan vektor j(0,1).

Komposisi = Perkalian Matriks

Soal meminta kita nerapin $T_1$ lalu dilanjut $T_2$. Dalam notasi fungsi geometri, titik $v$ dikenai $T_1$ jadi $T_1 v$. Lalu hasil ini dikenai $T_2$, sehingga penulisannya jadi $T_2(T_1 v)$.

Perhatikan bahwa urutannya dibaca dari kanan ke kiri! Transformasi pertama ($T_1$) justru yang nempel langsung di sebelah titik $v$.

Karena sifat asosiatif dalam perkalian matriks, $T_2(T_1 v)$ sama nilainya dengan $(T_2 T_1)v$. Artinya, kita bisa mengalikan matriks $T_2$ dan $T_1$ duluan buat ngasilin satu Matriks Total ($M_{\text{total}}$) yang merangkum kedua langkah tersebut sekaligus!

Mari kita kalikan matriksnya untuk mencari $M_{\text{total}} = T_2 \times T_1$: $M_{\text{total}} = \begin{bmatrix} 0 & -1 -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 1 & 0 \end{bmatrix}$

Baris $\times$ Kolom:

Sehingga didapat: $M_{\text{total}} = \begin{bmatrix} -1 & 0 0 & 1 \end{bmatrix}$

Menariknya, matriks hasil ini ternyata bentuk dari refleksi terhadap sumbu y! Jadi, mutar $90^\circ$ lalu dicerminkan $y=-x$ itu efeknya persis sama kayak dicerminkan terhadap sumbu y.

Jika sebuah titik dikenai transformasi T1 lalu dilanjutkan dengan T2, pernyataan mana yang benar mengenai matriks gabungannya?

  • Matriks transformasi pertama ditulis paling kiri.
  • T2 dikenakan pada hasil dari T1, sehingga ditulis T2 * T1.
  • Urutan perkalian matriks tidak mengubah hasil akhir (komutatif).
  • Matriks total (M_total) dicari dengan menjumlahkan T1 dan T2.

Jawaban: T2 dikenakan pada hasil dari T1, sehingga ditulis T2 * T1.

Dalam komposisi transformasi, urutan perkalian matriks berjalan dari kanan ke kiri.