Melacak Titik Awal Transformasi

Rotasi Bukan di Titik Asal

Merotasi titik pada pusat sembarang sama dengan menggeser pusat itu ke titik nol, merotasi titiknya, lalu menggesernya kembali ke pusat awal.

Jika titik diputar mengelilingi titik asal $(0, 0)$ sejauh $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ radian) berlawanan arah jarum jam, kita sudah mengenal aturan dasarnya: $(x, y) \to (-y, x)$. Namun, bagaimana jika kurir harus memutar paket mengelilingi tiang poros di titik sembarang $P(p, q)$? Kita tidak perlu menghafal rumus baru dari nol; kita cukup meminjam bantuan translasi (pergeseran) lewat tiga langkah logis:

1. Geser bidang sementara ke titik nol: Kurangi koordinat titik awal dengan pusat rotasi agar titik pusat seolah-olah berpindah ke $(0, 0)$. Titik kini berada di posisi $(x - p, y - q)$.

2. Lakukan rotasi dasar: Terapkan aturan rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam pada posisi baru tersebut:

   $$(X, Y) \to (-Y, X) \implies (-(y - q), x - p)$$

3. Kembalikan ke posisi awal: Tambahkan kembali koordinat pusat $(p, q)$ untuk menggeser poros ke tempat semula:

   $$(x', y') = (-(y - q) + p, (x - p) + q)$$

Eksplorasi interaktif di atas menunjukkan bahwa letak pusat rotasi bertindak seperti poros jangka. Saat pusat rotasi digeser, lintasan busur putaran dan lokasi bayangan titik ikut berpindah.

Mencari Bayangan Pertama

Substitusi koordinat awal dan pusat ke dalam formula rotasi akan menghasilkan posisi bayangan sementara dalam bentuk variabel.

Sekarang, mari kita ikuti instruksi pertama kurir untuk paket pada soal. Paket berangkat dari gudang awal di titik $D(a, 3)$, lalu diputar sejauh $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam mengelilingi pusat $P(1, 1)$. Di sini, nilai absis awal masih berupa variabel $a$, sedangkan $x = a$, $y = 3$, $p = 1$, dan $q = 1$.

Kita masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam formula pergeseran rotasi dari halaman sebelumnya:

• Komponen absis ($x'$):

  $$x' = -(y - q) + p = -(3 - 1) + 1 = -(2) + 1 = -1$$

• Komponen ordinat ($y'$):

  $$y' = (x - p) + q = (a - 1) + 1 = a$$

Dengan demikian, bayangan sementara setelah tahap rotasi adalah titik $D'(-1, a)$. Posisi paket kini berada di koordinat yang absisnya sudah berupa bilangan pasti, sedangkan ordinatnya memuat variabel $a$.

Logika Pencerminan Garis Vertikal

Pencerminan terhadap garis vertikal hanya mengubah letak absis secara simetris, sementara nilai ordinat tetap sama.

Setelah diputar, kurir mendapat instruksi kedua: mencerminkan posisi sementara $D'(-1, a)$ terhadap garis vertikal $x = 4$. Bayangkan garis $x = 4$ sebagai cermin kaca tegak lurus yang menjulang dari atas ke bawah:

• Gerakan pantulan hanya melompat secara mendatar (kiri-kanan), sehingga ketinggian (ordinat $y$) sama sekali tidak berubah: $y'' = y' = a$.

• Untuk absis ($x$), garis cermin $x = h$ harus berada tepat di tengah-tengah antara titik asal dan bayangannya:

  $$\frac{x' + x''}{2} = h \implies x'' = 2h - x'$$

Secara logika jarak, jarak mendatar dari titik $x' = -1$ ke cermin $x = 4$ adalah $4 - (-1) = 5$ satuan ke kanan. Maka, bayangan akhirnya harus melangkah sejauh $5$ satuan lagi ke kanan dari cermin, yaitu $4 + 5 = 9$.

Dengan formula matematis:

$$x'' = 2(4) - (-1) = 8 + 1 = 9$$

Bayangan akhir yang diperoleh dari kalkulasi kurir adalah $D''(9, a)$.