Geometri Vektor: Segaris dan Tegak Lurus

Dari Sejajar ke Segaris

Tiga titik dipastikan segaris (kolinear) jika vektor yang menghubungkannya adalah kelipatan satu sama lain dan memiliki satu titik tumpu yang sama.

Jika ada dua vektor terpisah memenuhi $\vec{PQ} = k \cdot \vec{RS}$, kita hanya bisa menyimpulkan bahwa kedua vektor tersebut sejajar di ruang koordinat. Namun, begitu kedua vektor berbagi satu titik sekutu—misalnya $\vec{AB} = k \cdot \vec{BC}$ yang bertemu langsung di titik $B$—kedua ruas garis tidak mungkin berada di jalur terpisah. Titik tumpu bersama itu memaksa ketiganya mengunci pada satu garis lurus yang sama persis.

Diagram pembuktian tiga titik kolinear A, B, dan C dengan vektor AB dua kali lebih panjang dari vektor BC yang bersambung di titik B.

Mari kita buktikan pada titik-titik dari soal: $A(1, 0, 2)$, $B(5, 4, 10)$, dan $C(7, 6, 14)$. Pertama, cari vektor perpindahannya:

$$\vec{AB} = B - A = (5-1, 4-0, 10-2) = (4, 4, 8)$$

$$\vec{BC} = C - B = (7-5, 6-4, 14-10) = (2, 2, 4)$$

Perhatikan perbandingan tiap komponennya: $4 = 2(2)$, $4 = 2(2)$, dan $8 = 2(4)$. Karena faktor pengali skalar $k = 2$ berlaku seragam di seluruh sumbu $x, y,$ dan $z$, berlaku hubungan $\vec{AB} = 2\vec{BC}$. Keberadaan titik $B$ sebagai titik sekutu membuktikan bahwa titik $A$, $B$, dan $C$ terletak pada satu garis lurus yang sama. Karena itu, Opsi A benar.

Diketahui hubungan vektor antar tiga titik memenuhi $\vec{PR} = -3\vec{RQ}$. Kesimpulan apa yang paling tepat secara geometris mengenai posisi titik P, Q, dan R?

  • Titik P, Q, dan R terletak pada satu garis lurus.
  • Vektor PR tegak lurus dengan vektor RQ.
  • Garis PR sejajar dengan garis RQ, tetapi terpisah.
  • Jarak titik P ke R selalu lebih pendek dari titik R ke Q.

Jawaban: Titik P, Q, dan R terletak pada satu garis lurus.

Jawaban benar adalah A. Hubungan PR = -3 RQ menunjukkan bahwa vektor PR merupakan kelipatan skalar dari RQ, dan kedua vektor memiliki titik persekutuan di R, sehingga titik P, Q, dan R kolinear (segaris lurus). Opsi B keliru karena kelipatan skalar menandakan kesejajaran, bukan ketegaklurusan. Opsi C keliru karena titik R bersekutu sehingga kedua garis menyatu. Opsi D keliru karena faktor -3 menandakan panjang PR justru tiga kali lipat panjang RQ.

Menentukan kolinearitas dari dua vektor yang bersekutu pada satu titik.

Bongkar Makna Dot Product

Dua vektor hanya saling tegak lurus (ortogonal) jika hasil perkalian skalarnya persis nol, sementara tanda negatif menandakan vektor tersebut menghadap sudut tumpul.

Untuk memahaminya, kita bisa memakai analogi konsep Usaha dalam fisika. Bayangkan vektor $\vec{v}$ sebagai arah gerak suatu benda (misalnya gerbong di atas rel), dan vektor $\vec{u}$ sebagai gaya tarik yang kita berikan. Jika kita menarik tali persis tegak lurus terhadap rel ($90^\circ$), tarikan kita sama sekali tidak membantu gerbong bergerak maju maupun mundur. Usaha yang tercipta bernilai nol. Itulah alasan mengapa dua vektor ortogonal selalu memiliki perkalian skalar (dot product) sama dengan $0$.

Lalu, apa yang terjadi jika tali ditarik menyerong ke belakang (membentuk sudut tumpul, lebih besar dari $90^\circ$)? Tarikan tersebut kini melawan arah gerak, alias menghambat laju gerbong. Dalam fisika, usaha yang menghambat ini bernilai negatif. Jadi, tanda minus pada perkalian skalar sama sekali tidak menandakan tegak lurus, melainkan menunjukkan bahwa kedua vektor saling berpaling atau membentuk sudut tumpul ($90^\circ < \theta \le 180^\circ$).

Sekarang kita evaluasi Opsi B dari soal. Kita uji apakah $\vec{AB} = (4, 4, 8)$ tegak lurus dengan $\vec{p} = (2, -1, 0)$ melalui perkalian skalar:

$$\vec{AB} \cdot \vec{p} = (4)(2) + (4)(-1) + (8)(0) = 8 - 4 + 0 = 4$$

Karena hasil dot product bernilai $4$ (bukan $0$), kedua vektor terbukti tidak ortogonal. Dengan demikian, Opsi B terbukti salah.

Sebuah operasi perkalian skalar antara vektor A dan vektor B menghasilkan nilai skalar -12. Tentukan kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut!

  • Vektor A dan vektor B saling tegak lurus. — Salah
  • Sudut yang terbentuk antara vektor A dan B lebih besar dari 90 derajat (tumpul). — Benar

Pernyataan 1 SALAH: Dua vektor hanya tegak lurus jika perkalian skalarnya tepat bernilai 0. Nilai -12 bukan nol, sehingga tidak tegak lurus. Pernyataan 2 BENAR: Perkalian skalar bernilai negatif jika dan hanya jika cosinus sudutnya negatif, yang berarti sudut antar-vektor berada pada rentang tumpul (antara 90 dan 180 derajat).

Mengidentifikasi arti geometris dari perkalian skalar bernilai negatif.

Cosinus -1 dan Berlawanan Penuh

Jika satu vektor adalah kelipatan skalar negatif persis dari vektor lain, maka sudutnya $180^\circ$ dan nilai cosinusnya adalah $-1$.

Pada analogi gerbong sebelumnya, kita melihat bahwa menarik gerbong ke arah belakang menghasilkan nilai usaha yang bertanda negatif. Lalu, bagaimana jika gaya ditarik membelakangi arah gerak secara sempurna sejajar? Pada situasi tersebut, kedua arah bertolak belakang tepat membentuk garis lurus rata berbusur sudut $180^\circ$. Inilah titik 'paling negatif' yang bisa dicapai sebuah fungsi cosinus, yaitu $\cos(180^\circ) = -1$.

Diagram vektor BA dan BC yang bertolak belakang dari titik pangkal B membentuk sudut 180 derajat.

Mari kita periksa kebenaran Opsi C dari soal dengan meninjau vektor $\vec{BA}$ dan $\vec{BC}$:

$$\vec{BA} = A - B = (1-5, 0-4, 2-10) = (-4, -4, -8)$$

$$\vec{BC} = C - B = (7-5, 6-4, 14-10) = (2, 2, 4)$$

Perhatikan hubungan aljabarnya secara langsung: $\vec{BA} = -2\vec{BC}$. Skalar negatif ($-2$) memberi tahu kita dua hal secara instan: panjangnya dua kali lipat, dan arah panahnya persis berlawanan $180^\circ$ dari titik pangkal yang sama ($B$). Karena sudut antar-vektornya tepat $180^\circ$, nilai cosinus sudutnya tidak lain adalah $-1$. Pernyataan ini membuktikan bahwa Opsi C benar.

Dua buah vektor di ruang koordinat memenuhi hubungan persamaan $\vec{X} = -0.5\vec{Y}$. Berapakah nilai cosinus sudut yang terbentuk antara vektor X dan Y?

  • 0
  • -1
  • -0.5
  • 1

Jawaban: -1

Jawaban benar adalah B (-1). Hubungan X = -0.5 Y berarti vektor X searah garis lurus yang sama dengan vektor Y namun berlawanan arah secara sempurna (sudutnya 180 derajat). Nilai cosinus dari 180 derajat selalu tepat -1. Pengecoh A (0) keliru karena 0 merupakan cosinus sudut 90 derajat (tegak lurus). Pengecoh C (-0.5) keliru karena menyalin nilai faktor skalar, bukan nilai fungsi trigonometri cosinus. Pengecoh D (1) keliru karena mengabaikan tanda minus pembalik arah.

Kaitan antara faktor skalar negatif dan nilai cosinus sudut vektor yang bertolak belakang.