Eksistensi Solusi: Menyelidiki Perpotongan Fungsi

Apa Artinya $f(r) = g(r)$?

Sering kali, pas ngelihat persamaan fungsi dengan variabel kayak $f(r) = g(r)$, otak kita langsung mikir: "Gimana cara ngitungnya?" Padahal, matematika itu lebih sering tentang ngebayangin apa yang sebenernya terjadi di dunia nyata, baru deh kita hitung.

Fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ di soal kita ini adalah fungsi kuadrat. Ciri khas fungsi kuadrat itu grafiknya berbentuk parabola—seperti mangkuk yang bisa menghadap ke atas atau ke bawah.

Pernyataan "ada bilangan real $r$ sehingga $f(r) = g(r)$" sebenernya adalah bahasa formal dari pertanyaan simpel: "Ada nggak sih suatu titik di mana kedua parabola ini punya ketinggian yang sama?" Dengan kata lain, kita cuma ditanya: Apakah kedua kurva parabola ini saling bertabrakan/berpotongan?

Kalau kurvanya tabrakan, berarti ada solusi (jawabannya YA). Kalau mereka nggak nyentuh sama sekali, berarti nggak ada solusi (jawabannya TIDAK). Sesimpel itu!

Berdasarkan analogi kurva tadi, jika dua grafik fungsi ternyata TIDAK memiliki titik potong sama sekali, apa kesimpulan yang bisa kita ambil?

  • A. Tidak ada grafik yang bisa digambar.
  • B. Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi $f(x) = g(x)$.
  • C. Kedua fungsi memiliki bentuk persamaan yang sama persis.
  • D. Kita harus mengganti fungsi kuadrat menjadi garis lurus.

Jawaban: B. Tidak ada nilai $x$ yang memenuhi $f(x) = g(x)$.

Persamaan $f(x) = g(x)$ mewakili titik perpotongan grafik kedua fungsi. Kalau grafiknya nggak pernah ketemu (nggak berpotongan), berarti ya nggak ada satupun nilai $x$ yang bisa bikin tinggi mereka sama.

Menerjemahkan persamaan kesamaan dua fungsi sebagai titik potong kedua grafiknya.

Menyatukan Persamaan: Dari Kurva ke Diskriminan

Setelah kita sadar kalau soal ini nanya "apakah mereka tabrakan?", sekarang kita butuh alat pendeteksinya. Dalam matematika, cara ngecek dua fungsi tabrakan atau nggak adalah dengan menyamakan persamaannya.

Kita punya: $f(x) = x^2 + cx + 5$ $g(x) = -x^2 + 3x - k$

Kita paksa mereka tabrakan: $f(x) = g(x)$ $x^2 + cx + 5 = -x^2 + 3x - k$

Biar gampang dianalisis, kita pindahin semua isi di ruas kanan ke ruas kiri.

Sekarang kita dapet satu persamaan kuadrat baru: $2x^2 + (c-3)x + (5+k) = 0$. Persamaan baru ini ibarat "hasil peleburan" kedua kurva. Kalau persamaan ini punya akar real (alias bisa diselesaikan), berarti kurvanya tabrakan.

Ingat rumus Diskriminan? $D = b^2 - 4ac$. Berdasarkan persamaan gabungan kita, radar pendeteksi tabrakannya adalah: $D = (c-3)^2 - 4(2)(5+k)$ $D = (c-3)^2 - 8(5+k)$

Jadi, pertanyaan "apakah ada nilai $r$?" sekarang berubah wujud jadi: "apakah $(c-3)^2 - 8(5+k) \ge 0$?"

Agar persamaan kuadrat hasil gabungan dua fungsi tersebut membuktikan bahwa grafiknya BERPOTONGAN (punya solusi real), syarat Diskriminan ($D$) yang harus dipenuhi adalah...

  • A. $D < 0$
  • B. $D = -1$
  • C. $D \le 0$
  • D. $D \ge 0$

Jawaban: D. $D \ge 0$

Agar persamaan kuadrat gabungan memiliki solusi (kurva berpotongan), nilai Diskriminannya harus positif atau nol ($D \ge 0$). Kalau $D < 0$, akarnya imajiner alias grafiknya nggak nabrak.

Syarat persamaan kuadrat memiliki solusi/akar real adalah Diskriminan (D) bernilai lebih besar atau sama dengan nol.

Mindset Detektif: Apa Arti 'Cukup'?

ilustrasi

Sebelum kita masuk ke angka, kita harus lurusin satu miskonsepsi besar di soal tipe Kecukupan Data (Data Sufficiency). Banyak yang mikir, "Wah, aku harus nemuin angka pasti buat $c$ dan $k$ nih!" Salah besar.

Pertanyaan soal cuma nanya: "Apakah tabrakan?" Jawabannya cuma dua kemungkinan: YA atau TIDAK.

Di sinilah kamu harus pakai mindset detektif. Tugasmu bukan mencari tahu warna baju pelaku (nilai $c$ dan $k$), tapi sekadar mencari bukti yang cukup buat mutusin si pelaku ini pasti bersalah (YA) atau pasti bebas (TIDAK).

Jadi, kita nggak perlu repot-repot nyari nilai pasti $c$ dan $k$. Kita cuma butuh kepastian: apakah $D \ge 0$ itu selalu terjadi, atau selalu nggak terjadi.