Fungsi Bertingkat: Tarif Dasar ke Harga Akhir

Menyeleksi Rumus dengan Syarat

Fungsi Piecewise bertindak seperti gerbang seleksi yang mengarahkan nilai $x$ ke rumus yang tepat berdasarkan syarat interval-nya. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai sistem tarif berjenjang, seperti biaya parkir flat untuk jam pertama yang kemudian bertambah di jam berikutnya. Bayangkan aturan ini seperti Loket 1: sebelum menghitung biaya, petugas loket harus mengecek kartu perjalanan untuk melihat seberapa jauh perjalanan berlangsung.

Pada sistem transportasi online di soal, tarif dasar argo awal $T(x)$ memiliki dua jalur aturan:

$$T(x) = \begin{cases} 15000, & \text{jika } 0 < x \le 3 \\ 15000 + 4000(x - 3), & \text{jika } x > 3 \end{cases}$$

Syarat $0 < x \le 3$ adalah interval untuk perjalanan jarak dekat (hingga $3\text{ km}$), sedangkan $x > 3$ adalah interval untuk perjalanan jarak jauh. Tanda pertidaksamaan menentukan secara tegas jalur mana yang berhak digunakan:

• Jika pelanggan menempuh $1\text{ km}$, jarak tersebut memenuhi $0 < 1 \le 3$, sehingga berlaku Rumus Atas dengan tarif flat $\text{Rp }15.000$.

• Jika jaraknya tepat $3\text{ km}$, karena ada tanda "$\le$" (kurang dari atau sama dengan), angka $3$ masih termasuk ke dalam Rumus Atas ($\text{Rp }15.000$).

• Jika menempuh $4\text{ km}$, nilai $4 > 3$, sehingga gerbang beralih ke Rumus Bawah.

Untuk Pelanggan A yang menempuh jarak $x = 2\text{ km}$, kita periksa nilai $2$. Karena $0 < 2 \le 3$, Pelanggan A masuk ke jalur Rumus Atas. Dengan demikian, tiket tarif dasar yang keluar dari Loket 1 untuk Pelanggan A adalah nilai tetap $T(2) = 15000$.

Gabungan Fungsi: Harga Akhir

Fungsi Komposisi bekerja secara berurutan: hasil akhir dari fungsi pertama menjadi bahan masukan untuk fungsi kedua. Setelah Pelanggan A mendapatkan nilai tiket tarif dasar dari Loket 1, tiket tersebut harus dibawa ke Loket 2 untuk memperhitungkan lonjakan harga jam sibuk.

Fungsi harga akhir di Loket 2 dimodelkan sebagai $H(T) = 1{,}25T + 2000$. Huruf $T$ pada rumus ini mewakili nilai rupiah yang baru saja dihitung dari Loket 1, bukan jarak kilometer $x$.

Mari kita telusuri alur perhitungan untuk Pelanggan A:

1. Keluaran Loket 1: Dari perjalanan sejauh $x = 2\text{ km}$, kita peroleh nilai tarif dasar $T(2) = 15000$.

2. Masukan ke Loket 2: Nilai $15000$ ini disubstitusikan langsung ke dalam variabel $T$ pada fungsi $H(T)$:

   $$H(15000) = 1{,}25(15000) + 2000$$

3. Hitung Suku Perkalian: Kalikan faktor lonjakan terlebih dahulu:

   $$1{,}25 \times 15000 = 18750$$

4. Tambahkan Biaya Tetap: Jangan berhenti di tahap perkalian, karena masih ada biaya tambahan tetap sebesar $\text{Rp }2000$:

   $$18750 + 2000 = 20750$$

Jadi, total tarif jam sibuk yang harus dibayar Pelanggan A adalah $\text{Rp }20.750$.

Perhitungan Berulang dan Selisih

Proses komposisi fungsi berlaku sama untuk semua nilai masukan asalkan syarat percabangannya dievaluasi dengan benar di awal. Sekarang kita uji alur Loket 1 dan Loket 2 untuk dua penumpang lainnya: Pelanggan B ($x = 5\text{ km}$) dan Pelanggan C ($x = 8\text{ km}$).

Karena kedua nilai jarak ini memenuhi kondisi $x > 3$, keduanya diarahkan ke jalur Rumus Bawah pada fungsi tarif dasar:

$$T(x) = 15000 + 4000(x - 3)$$

Ekspresi $(x - 3)$ menghitung kelebihan jarak setelah $3\text{ km}$ pertama. Pastikan pengurangan di dalam kurung diselesaikan sebelum dikalikan dengan $4000$.

Setelah memperoleh harga akhir kedua pelanggan, kita evaluasi selisih biayanya:

$$\Delta H = 45750 - 30750 = 15000$$

Selisih tarif antara Pelanggan C dan Pelanggan B persis bernilai $\text{Rp }15.000$. Oleh karena itu, pernyataan pada Opsi B bernilai Benar.