Trik Mencoret Deret Panjang (Teleskopik)

Kenalan Sama Pola Teleskopik

Pola teleskopik adalah perkalian berantai di mana sebagian besar angka saling berkebalikan dan membatalkan satu sama lain menjadi angka 1.

Melihat deret perkalian pecahan yang sangat panjang sering kali membuat kita merasa harus mengalikan semua pembilang dan penyebut satu per satu secara manual. Padahal, deret seperti ini hampir tidak pernah dirancang untuk dihitung kasar. Di balik deret yang panjang, ada struktur rapi yang membuat perhitungan menyusut drastis.

Bayangkan efek jembatan roboh di tengah: deretan mobil sedang mengantre di jembatan panjang yang menghubungkan pulau awal dan pulau akhir. Ketika struktur jembatan di bagian tengah runtuh atau lenyap, yang tersisa hanyalah mobil di bibir tebing ujung paling awal dan mobil di bibir tebing ujung paling akhir.

Ketika pecahan dikalikan secara berantai, pembilang suatu pecahan bisa langsung dibagi dengan angka yang sama pada penyebut pecahan berikutnya:

$$\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}$$

Angka $2$, $3$, dan $4$ saling membagi habis menghasilkan $1$. Hasil perkalian raksasa ini langsung runtuh menjadi pecahan sederhana: pembilang paling kiri yaitu $1$, dan penyebut paling kanan yaitu $5$, menghasilkan $\frac{1}{5}$.

Berapa hasil akhir dari perkalian berantai $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{99}{100}$?

  • $\frac{1}{100}$
  • $\frac{1}{50}$
  • $\frac{99}{100}$
  • $\frac{2}{3}$

Jawaban: $\frac{1}{50}$

Pada perkalian berantai $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \times \dots \times \frac{99}{100}$, angka 3 sampai 99 di bagian tengah saling membatalkan menjadi 1. Suku yang bertahan hanyalah pembilang awal yaitu 2 dan penyebut akhir yaitu 100, sehingga hasilnya $\frac{2}{100} = \frac{1}{50}$. Opsi A keliru karena mengambil pembilang 1, Opsi C hanya mengambil suku paling akhir, dan Opsi D hanya mengambil suku paling depan.

Prinsip pencoretan pada perkalian berantai pola sederhana menyisakan ujung awal dan akhir.

Membongkar Bentuk Kuadrat

Bentuk kompleks $\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$ harus diubah jadi pecahan biasa lalu difaktorkan dengan selisih dua kuadrat agar polanya terlihat.

Pada soal asli, kita menemukan bentuk kurung berupa operasi pengurangan: $\left(1 - \frac{1}{n^2}\right)$. Mengapa bentuk ini belum bisa langsung dicoret? Karena operasi di dalam kurung masih berupa selisih (pengurangan), bukan perkalian antar faktor yang siap dibagi.

Agar efek jembatan roboh di tengah bisa terjadi, kita harus mengubah bentuk selisih tersebut menjadi bentuk faktor perkalian melalui dua langkah aljabar yang runtut:

  1. Samakan penyebut: Ubah angka $1$ menjadi $\frac{n^2}{n^2}$, sehingga bentuknya menjadi satu pecahan utuh $\frac{n^2 - 1}{n^2}$.

  2. Faktorkan pembilang: Gunakan sifat selisih dua kuadrat, yaitu $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Karena $1 = 1^2$, maka pembilang $n^2 - 1^2$ terurai menjadi $(n - 1)(n + 1)$.

Diagram aljabar yang menunjukkan transformasi dari bentuk 1 - 1/n² disamakan penyebutnya menjadi n² - 1 /n², lalu difaktorkan menjadi n - 1 n + 1 /n², dan dipecah menjadi n - 1 /n * n + 1 /n .

Dengan memecah penyebut $n^2$ menjadi $n \cdot n$, pecahan ini dapat ditulis ulang sebagai perkalian dua pecahan linear:

$$1 - \frac{1}{n^2} = \left(\frac{n - 1}{n}\right) \times \left(\frac{n + 1}{n}\right)$$

Sekarang, setiap suku kurung telah berubah menjadi pasangan pecahan berpenyebut $n$ yang siap disambungkan menjadi jembatan perkalian teleskopik!

Bentuk perkalian dua pecahan manakah yang senilai dengan $\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$?

  • $\left(\frac{x - 1}{x}\right) \times \left(\frac{x + 1}{x}\right)$
  • $\left(\frac{x - 1}{x - 1}\right) \times \left(\frac{x + 1}{x + 1}\right)$
  • $\left(\frac{x - 1}{x}\right) \times 1$
  • $\frac{x^2 - 1}{x}$

Jawaban: $\left(\frac{x - 1}{x}\right) \times \left(\frac{x + 1}{x}\right)$

Menyamakan penyebut menghasilkan $\frac{x^2 - 1}{x^2}$. Pembilang difaktorkan dengan sifat selisih dua kuadrat menjadi $(x - 1)(x + 1)$. Memecah penyebut $x^2$ menjadi $x \times x$ menghasilkan $\left(\frac{x - 1}{x}\right) \times \left(\frac{x + 1}{x}\right)$. Opsi B keliru mengubah penyebut, Opsi C kehilangan suku $(x + 1)$, dan Opsi D keliru menuliskan penyebut sebagai $x$ bukan $x^2$.

Kemampuan mengubah bentuk 1 - 1/x² menggunakan selisih dua kuadrat dan penyamaan penyebut.

Urai dan Coret Berantai!

Pola pembatalan baru terlihat jelas jika kita mensubstitusi $n$ dan mengelompokkan pecahan menjadi dua deret terpisah yang bergeser.

Berdasarkan bentuk faktor yang sudah kita dapatkan, yaitu $\left(\frac{n - 1}{n}\right) \times \left(\frac{n + 1}{n}\right)$, kita substitusikan nilai $n$ dari $2$ sampai $10$ berturut-turut:

Jika semua suku dikalikan langsung dalam satu baris panjang, posisinya tampak berselang-seling dan membingungkan untuk dicoret. Trik kuncinya adalah memanfaatkan sifat komutatif perkalian: pisahkan pecahan bagian kiri $\left(\frac{n - 1}{n}\right)$ dan pecahan bagian kanan $\left(\frac{n + 1}{n}\right)$ menjadi dua kelompok kurung besar yang berdiri sendiri.

Diagram pemisahan deret menjadi dua kelompok kurung besar dengan garis coret merah pembatalan yang menyisakan pecahan 1/10 dan 11/2.

Di dalam masing-masing kurung, efek jembatan roboh di tengah bekerja dengan sangat rapi:

  1. Kelompok pertama $\frac{n - 1}{n}$: Menghasilkan $\left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{9}{10}\right)$. Angka $2$ hingga $9$ saling membagi habis, menyisakan pembilang paling depan dan penyebut paling belakang, yaitu $\frac{1}{10}$.

  2. Kelompok kedua $\frac{n + 1}{n}$: Menghasilkan $\left(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{11}{10}\right)$. Angka $3$ hingga $10$ saling membagi habis, menyisakan penyebut paling depan dan pembilang paling belakang, yaitu $\frac{11}{2}$.