Teka-Teki Harga: Membongkar Persamaan 'Mustahil'

Persamaan yang 'Kurang Informasi'?

Pernah nggak kamu ngerjain teka-teki matematika dan ngerasa, "Lho, kok informasinya kurang?" Di soal ini, kita dikasih tahu harga pepaya ($11$ ribu), melon ($22$ ribu), dan durian ($23$ ribu) dengan total belanjaan $515$ ribu. Kalau kita tulis dalam bahasa matematika, jadinya:

$11a + 22b + 23c = 515$

Secara aljabar biasa, satu persamaan dengan tiga variabel ($a$, $b$, dan $c$) itu mustahil dipecahkan karena jawabannya ada tak terhingga banyaknya. Ini disebut sebagai sistem yang underdetermined (kurang informasi). Angkanya bisa aja berupa desimal yang aneh-aneh. Tapi, kita punya satu senjata rahasia yang bikin soal ini bisa diselesaikan tanpa harus menebak acak.

Senjata rahasianya adalah: syarat bilangan bulat. Variabel $a$, $b$, dan $c$ mewakili jumlah buah. Wati nggak mungkin beli $0,73$ buah melon atau $2,1$ buah durian, kan? Nilainya pasti bilangan cacah ($0, 1, 2, 3, \dots$).

Menyatukan Kotak Harga

Sekarang kita tahu $a, b, c$ harus bilangan bulat. Persamaan kita masih kelihatan rumit: $11a + 22b + 23c = 515$

Kalau kamu perhatikan, ada pola angka yang bisa disederhanakan. Lihat harga pepaya ($11$) dan melon ($22$). Harga melon kebetulan adalah kelipatan pasti dari harga pepaya, yaitu $22 = 11 \times 2$. Artinya, total harga melon yang $22b$ itu bisa kita tulis sebagai $11(2b)$.

Daripada pusing mikirin pepaya dan melon secara terpisah, kita bisa pakai sifat distributif untuk mengelompokkannya ke dalam satu "paket" besar yang harganya ditarik angka kelipatan $11$:

$11a + 11(2b) + 23c = 515$ $11(a + 2b) + 23c = 515$

Karena $a$ dan $b$ bilangan bulat, maka gabungan dari $(a + 2b)$ juga pasti bilangan bulat. Kita bisa ganti satu paket ini dengan variabel baru, sebut saja $m$. Persamaan kita yang tadinya punya tiga variabel, sekarang menyusut secara ajaib jadi dua variabel aja:

$11m + 23c = 515$

Trik 'Buang Kelipatan'

Dari persamaan ringkas $11m + 23c = 515$, kita bisa menemukan nilai $c$ (durian) dengan cerdik menggunakan logika sisa bagi atau keterbagian.

Kita tahu $m$ pasti bilangan bulat, jadi $11m$ pasti habis dibagi 11. Konsekuensi logisnya: sisa uang dari total belanja ($515 - 23c$) HARUS bisa dibagi 11 juga. Tapi, angka $515$ dan $23$ itu masih kebesaran buat dihitung di luar kepala. Yuk kita "buang" kelipatan $11$ yang paling dekat supaya angkanya jadi kecil!

Begini cara logikanya bekerja:

1. Pecah angka $23c$: Angka $23$ itu sama dengan $22 + 1$. Karena $22c$ pasti kelipatan $11$, buang saja! Sisanya tinggal $1c$ atau $c$.

2. Pecah angka $515$: Cari kelipatan $11$ yang terdekat dari $515$. Kita dapat angka $517$ (karena $11 \times 47 = 517$). Jadi, angka $515$ ini secara matematika bisa ditulis sebagai $517 - 2$. Karena $517$ itu kelipatan $11$, buang saja! Sisanya tinggal $-2$.

Setelah kelipatan $11$ dibuang besar-besaran, dari nilai $515 - 23c$, yang tersisa secara logika hanyalah sisa-sisanya: $-2 - c$ harus senilai dengan kelipatan $11$ terdekat.

Biar gampang dan nggak ada minus di depan huruf $c$, kita kalikan saja semuanya dengan negatif, sehingga persyaratannya berubah menjadi super simpel: $c + 2$ harus kelipatan 11.