Aljabar Barisan: Manipulasi Variabel Paket
Kembali ke Fondasi: $U_n$ vs $S_n$
Sering kali kita kebalik-balik antara rumus $U_n$ dan $S_n$ karena sama-sama dipakai buat barisan aritmatika. Padahal, keduanya punya fungsi yang benar-benar beda!
Coba bayangkan sebuah deretan anak tangga.
$U_n$ (Suku ke-$n$) itu ibarat menunjuk satu anak tangga tertentu. "Tinggi anak tangga ke-5 itu berapa sih?" Nah, ini nilai spesifik di urutan itu aja. Rumusnya: $U_n = a + (n-1)d$.
$S_n$ (Jumlah $n$ suku pertama) itu ibarat menghitung total tinggi dari anak tangga pertama sampai ke-$n$. "Kalau aku naik sampai anak tangga ke-5, total ketinggianku berapa ya?" Ini akumulasi nilai dari awal. Rumusnya: $S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d)$.
Biar lebih nempel, coba kerjakan kuis mini di bawah ini.
Kalau kamu nabung tiap hari dengan jumlah yang bertambah konstan, manakah dari situasi berikut yang paling tepat menggunakan rumus $S_{10}$?
- A. Jarak dari sekolah ke minimarket.
- B. Total tabunganmu dari hari pertama sampai hari ke-10.
- C. Jumlah uang yang kamu tabung KHUSUS pada hari ke-10 saja.
- D. Sisa uang saku di hari ke-10.
Jawaban: B. Total tabunganmu dari hari pertama sampai hari ke-10.
S_n adalah akumulasi (total) dari awal hingga titik n. Jika hanya hari ke-10 saja, itu adalah U_n.
U_n mencari nilai satu titik, S_n mencari akumulasi dari titik awal hingga n
Pijakan Pertama: Terjemahkan ke '$a$' dan '$d$'
Sekarang kita masuk ke soal. Di soal, kita dikasih persamaan yang panjang banget: $U_1 + U_3 + U_5 + U_7 + U_9 + U_{11} = 72$
Pasti rasanya pengen panik liat suku sebanyak itu. Tapi tenang, jurus paling ampuh di aljabar barisan aritmatika kalau lagi buntu adalah: terjemahkan semuanya ke bentuk $a$ dan $d$. Kenapa? Biar bahasanya seragam!
Ingat lagi rumus dasar kita: $U_n = a + (n-1)d$.
$U_1$ itu suku pertama, jadi kita tulis $a$.
$U_3$ itu suku pertama ditambah dua lompatan beda, jadi $a + 2d$.
$U_5$ jadi $a + 4d$. ...dan seterusnya sampai $U_{11}$ menjadi $a + 10d$.
Berdasarkan pola tadi, kalau kita harus menerjemahkan $U_9$, bentuk aljabarnya adalah...
- A. $a + 7d$
- B. $a + 9d$
- C. $a + 8d$
- D. $a + 10d$
Jawaban: C. $a + 8d$
Suku ke-9 berarti butuh 8 lompatan dari suku pertama. Jadi, $U_9 = a + (9-1)d = a + 8d$.
U_n = a + (n-1)d
Seni Menyederhanakan Persamaan
Setelah menerjemahkan semua suku ganjil tadi, persamaan kita yang awalnya keliatan seram sekarang jadi sekumpulan $a$ dan $d$:
$(a) + (a + 2d) + (a + 4d) + (a + 6d) + (a + 8d) + (a + 10d) = 72$
Kelihatannya masih panjang ya? Di sinilah kita pakai skill aljabar dasar: gabungkan variabel yang sejenis. Kumpulkan semua '$a$' dan jumlahkan. Lalu, kumpulkan semua '$d$' dan jumlahkan juga.
Coba hitung: ada 6 buah $a$, dan $2d + 4d + 6d + 8d + 10d = 30d$. Jadi, persamaannya menyusut jadi: $6a + 30d = 72$
Persamaan ini masih bisa di-diet-kan lagi! Karena 6, 30, dan 72 semuanya bisa dibagi 6, kita sederhanakan dengan membagi kedua ruas dengan 6.