Awas! Persamaan Panjang Belum Tentu Ada Isinya

Mesin Pembalik Fungsi

Fungsi invers dapat diselesaikan dengan membalik prosesnya tanpa harus mencari rumus inversnya secara utuh.

Bayangkan fungsi sebagai sebuah mesin produksi pabrik. Fungsi $f(x)$ menerima bahan mentah berupa Input $x$, lalu memprosesnya menjadi produk jadi berupa Output $y$. Sebaliknya, Fungsi Invers $f^{-1}$ bekerja bagaikan mesin pembalik: ia memasukkan produk jadi $y$ untuk dibongkar kembali menjadi bahan aslinya $x$.

Karena sifat pembalikan tersebut, relasi matematisnya selalu berlaku dua arah:

$$\boxed{f^{-1}(b) = a \iff f(a) = b}$$

Setiap kali simbol invers dipindahkan ke ruas sebelah, sifat fungsinya berbalik kembali menjadi fungsi asli. Kita tidak perlu repot mencari rumus $f^{-1}(x) = \frac{x-4}{a}$ dari awal jika yang kita miliki adalah persamaan nilai.

Mari kita terapkan prinsip ini pada Pernyataan 1 soal:

$$f^{-1}(f^{-1}(12)) = 4$$

1. Pembalikan Pertama (Lapisan Luar):Keluarkan lapisan terluar $f^{-1}$ dengan memindahkannya ke ruas kanan menjadi fungsi asli $f$.

   $$f^{-1}(12) = f(4)$$

2. Pembalikan Kedua (Lapisan Dalam):Pindahkan lagi $f^{-1}$ yang tersisa di ruas kiri ke ruas kanan.

   $$12 = f(f(4))$$

Hanya dengan dua langkah pembalikan arah mesin, persamaan yang awalnya dipenuhi simbol invers kini berubah menjadi Komposisi Fungsi biasa yang siap dihitung langsung.

Mengeksekusi Pernyataan 1

Menyubstitusikan nilai berulang ke fungsi asli akan mengungkap parameter yang tersembunyi.

Dari pembalikan di halaman sebelumnya, kita telah mengubah Pernyataan 1 menjadi:

$$12 = f(f(4))$$

Diketahui rumus fungsi pada soal adalah $f(x) = ax + 4$ dengan syarat $a \ne 0$. Sekarang kita jalankan mesin fungsi $f$ secara bertahap sebanyak dua kali:

1. Jalankan Mesin Tahap Pertama:Masukkan $x = 4$ ke dalam $f(x)$:

   $$f(4) = a(4) + 4 = 4a + 4$$

2. Jalankan Mesin Tahap Kedua:Jadikan hasil $4a + 4$ sebagai input baru untuk mesin $f$:

   $$f(f(4)) = f(4a + 4) = a(4a + 4) + 4 = 4a^2 + 4a + 4$$

Sekarang kita pasangkan hasil akhir ini dengan angka $12$ yang berada di ruas kiri:

$$12 = 4a^2 + 4a + 4$$

Perhatikan bahwa yang ditanyakan pada soal bukan nilai $a$ secara terpisah, melainkan nilai dari bentuk $(a+1)a$. Mari kita sederhanakan persamaannya:

$$12 - 4 = 4a^2 + 4a$$

$$8 = 4(a^2 + a)$$

$$8 = 4a(a + 1)$$

Bagi kedua ruas dengan $4$:

$$\frac{8}{4} = a(a + 1) \implies a(a + 1) = 2$$

Karena bentuk $(a + 1)a$ bernilai tepat $2$ secara pasti dan tunggal, maka Pernyataan 1 saja cukup untuk menjawab pertanyaan.

Jebakan Identitas Aljabar

Tidak semua persamaan dengan wujud yang rumit memberikan nilai solusi; beberapa hanya berupa identitas $0 = 0$.

Pernyataan 2 pada soal terlihat sangat meyakinkan dengan rumus yang panjang:

$$f(g^{-1}(x)) = a^2x + 4a + 4, \quad \text{dengan } g(x) = \frac{x-4}{a}$$

Melihat persamaan yang panjang ini, kita sering tergoda berpikir: "Ada persamaan dan ada variabel $a$, pasti nilainya bisa dihitung!" Namun, mari kita uji dengan mencari $g^{-1}(x)$ terlebih dahulu:

$$y = \frac{x-4}{a} \implies ay = x - 4 \implies x = ay + 4$$

$$g^{-1}(x) = ax + 4$$

Perhatikan bahwa rumus $g^{-1}(x) = ax + 4$ ternyata persis sama dengan fungsi $f(x)$. Jadi ruas kiri sebenarnya adalah $f(f(x))$. Mari kita susun ruas kiri secara lengkap:

$$f(g^{-1}(x)) = f(ax + 4) = a(ax + 4) + 4 = a^2x + 4a + 4$$

Sekarang bandingkan ruas kiri dan ruas kanan pada Pernyataan 2:

$$a^2x + 4a + 4 = a^2x + 4a + 4$$

$$0 = 0$$

Hasil akhirnya adalah sebuah Identitas Aljabar. Persamaan ini bagaikan timbangan yang di kedua lengannya diletakkan dua kardus yang berat dan bentuknya identik. Timbangan tersebut selalu seimbang bukan karena kita menemukan berat tertentu, melainkan karena kedua sisinya memang sama sejak awal.

Karena $0 = 0$ selalu bernilai benar untuk bilangan $a$ berapa pun (asalkan $a \ne 0$), Pernyataan 2 tidak memberikan informasi apa pun untuk menentukan nilai tunggal dari $(a+1)a$. Oleh sebab itu:

• Pernyataan 2 saja tidak cukup.

• Opsi A benar: Pernyataan 1 saja cukup untuk menjawab pertanyaan, tetapi Pernyataan 2 saja tidak cukup.

• Opsi B salah karena Pernyataan 2 adalah identitas, sedangkan Pernyataan 1 terbukti cukup.

• Opsi C salah karena Pernyataan 1 sudah mandiri dan cukup, tidak membutuhkan bantuan informasi tambahan dari Pernyataan 2.

• Opsi D salah karena Pernyataan 2 tidak menghasilkan nilai solusi unik.

• Opsi E salah karena Pernyataan 1 berhasil memberikan nilai pasti $(a+1)a = 2$.