Aturan Kosinus: Modifikasi Pythagoras

Intuisi Engsel Pintu

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana pintu terbuka? Saat kamu baru membuka pintu sedikit, jarak antara ujung pintu dan kusennya sangat pendek. Tapi begitu pintu didorong terbuka lebar, jarak ujungnya makin jauh.

Konsep sederhana ini adalah kunci buat paham soal segitiga kita. Bayangkan dua potongan kayu dekorasi dengan panjang $8\text{ cm}$ dan $10\text{ cm}$ tadi disatukan di satu ujung layaknya sebuah engsel pintu.

Panjang sisi ketiga dari segitiga ini sangat bergantung langsung pada seberapa lebar sudut apit antara dua sisi kayu tersebut.

• Jika kayunya hampir dirapatkan (sudut kecil), sisi ketiganya pasti sangat pendek.

• Jika kayunya dibuka makin lebar, sisi ketiganya akan terus memanjang atau "melar" menyesuaikan bukaan sudutnya.

Nah, kalau sudutnya kebetulan dibuka pas siku-siku ($90^\circ$), kita bisa dengan gampang pakai Teorema Pythagoras. Tapi di soal dekorasi teater ini, pintunya dibuka sebesar $60^\circ$. Gimana cara ngitungnya? Kita butuh rumus yang bisa menyesuaikan diri dengan besaran bukaan ini.

Faktor Koreksi Pythagoras

Kalau dua kayu tersebut dibuka membentuk sudut tepat $90^\circ$, kita langsung ingat Teorema Pythagoras: kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya ($c^2 = a^2 + b^2$).

Masalahnya, Teorema Pythagoras hanya berlaku eksklusif untuk sudut siku-siku. Pada sudut $90^\circ$, nilai dari $\cos(90^\circ)$ adalah $0$, sehingga perhitungan menjadi sangat sederhana.

Bagaimana kalau sudutnya $60^\circ$ (sudut lancip) seperti pada pola dekorasi tadi?

Karena sudut $60^\circ$ lebih sempit dari $90^\circ$, kedua ujung kayu menjadi lebih berdekatan. Otomatis, sisi ketiganya pasti lebih pendek dibandingkan "sisi miring" versi Pythagoras.

Agar perhitungan kuadrat gaya Pythagoras tadi tetap akurat untuk sudut berapapun, kita harus menambahkan 'faktor koreksi'. Untuk sudut $60^\circ$, kita harus mengurangi hasil Pythagoras tadi dengan sebuah nilai, supaya sisi ketiganya menjadi lebih pendek yang semestinya.

Faktor koreksi tersebut adalah $2ab \cos(\theta)$. Dari sinilah Aturan Kosinus lahir sebagai bentuk "Pythagoras yang sudah dikoreksi":

Mengeksekusi Kayu Dekorasi

Sekarang mari kita terapkan pemahaman tadi ke potongan kayu sisa dekorasi yang dibuat oleh sang seniman kriya.

Kita tahu:

• Sisi pertama, $a = 8\text{ cm}$

• Sisi kedua, $b = 10\text{ cm}$

• Sudut apit, $\theta = 60^\circ$

Kunci mengeksekusi rumus ini agar tidak selip adalah dengan menghitung blok Pythagoras dan blok koreksi secara terpisah.

1. Hitung Blok Pythagoras ($a^2 + b^2$) Kita kuadratkan dulu masing-masing sisinya lalu dijumlahkan. $8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164$

2. Hitung Blok Koreksi ($2ab \cos(\theta)$) Nilai dari $\cos(60^\circ)$ adalah $0,5$ (atau $\frac{1}{2}$). Kalikan semuanya: $2 \times 8 \times 10 \times 0,5$. Biar gampang, $2 \times 0,5 = 1$, jadi tinggal $8 \times 10 = 80$.

3. Gabungkan (Kurangkan) Nilai $c^2 = 164 - 80 = 84$.

Sampai di sini kita sudah mendapatkan $c^2 = 84$. Artinya panjang kayunya adalah $c = \sqrt{84}$. Tapi di opsi jawaban, tidak ada yang berwujud $\sqrt{84}$. Di halaman selanjutnya, kita akan membereskan wujud akar ini.