Menggeser Parabola: Dari Titik Puncak ke Persamaan

Mencari Titik Puncak Kurva Dasar

Kurva berbentuk $y = x^2 - c$ berpuncak tepat di sumbu y, sejauh $c$ satuan di bawah sumbu x.

Bayangkan grafik fungsi kuadrat seperti kawat cetakan parabola yang kaku. Bentuk paling dasarnya adalah $y = x^2$, yang memiliki titik puncak tepat di pusat koordinat, yaitu $(0, 0)$. Karena kawat cetakan ini utuh, saat kita menulis $g(x) = x^2 - 6$, kita tidak mengubah kelengkungannya sama sekali, melainkan hanya menurunkan cetakan tersebut lurus ke bawah sejauh $6$ satuan.

Dengan menurunkannya $6$ satuan dari sumbu x, titik puncak kurva $g(x) = x^2 - 6$ langsung kita ketahui berada di $(0, -6)$. Menyadari posisi awal ini sangat krusial agar kamu tidak terkecoh menebak puncaknya berada di $(0, 6)$—sebuah kekeliruan tanda yang nantinya menjebakmu memilih Opsi A atau Opsi D pada soal pergeseran.

Suatu fungsi didefinisikan sebagai $h(x) = x^2 - 12$. Di manakah letak titik puncak grafik $h(x)$ tersebut?

  • (0, 12)
  • (0, -12)
  • (-12, 0)
  • (12, 0)

Jawaban: (0, -12)

Kurva dasar $y = x^2$ berlabuh di $(0, 0)$. Pengurangan 12 di luar fungsi ($h(x) = x^2 - 12$) menggeser kurva lurus ke bawah sejauh 12 satuan di sepanjang sumbu y, sehingga titik puncak berada di $(0, -12)$. Opsi A keliru tanda, sedangkan Opsi C dan D keliru menaruh pergeseran pada sumbu x.

Menemukan puncak kurva dasar y = x^2 - c

Efek Translasi pada Titik

Menggeser kurva sejauh $X$ ke horizontal dan $Y$ ke vertikal berarti menambahkan nilai tersebut secara langsung ke koordinat asal.

Karena kurva kita adalah kawat cetakan parabola yang kaku, melakukan translasi pada kurva berarti memindahkan setiap titik pada kawat tersebut dengan jarak dan arah yang identik. Oleh karena itu, kita tidak perlu memindahkan seluruh garis lengkungnya titik demi titik; cukup pindahkan titik puncak kurva sebagai jangkar utamanya.

Titik puncak awal kurva $g(x)$ berada di koordinat $(0, -6)$. Ketika kurva digeser $2$ satuan ke kiri, nilai sumbu x berkurang $2$, sehingga $x' = 0 - 2 = -2$. Lalu, pergeseran $4$ satuan ke atas menambah nilai sumbu y sebesar $4$, sehingga $y' = -6 + 4 = -2$. Hasil akhir titik puncak baru kurva $f(x)$ adalah $(-2, -2)$, yang membuktikan Opsi B adalah jawaban yang benar.

Titik pusat dari sebuah objek berada di koordinat $(3, -5)$. Objek itu dipindah 1 satuan ke kanan dan 7 satuan ke bawah. Berapakah koordinat pusat objek sekarang?

  • (2, 2)
  • (4, 2)
  • (4, -12)
  • (2, -12)

Jawaban: (4, -12)

Pindah ke kanan menambah sumbu x ($3 + 1 = 4$), dan pindah ke bawah mengurangi sumbu y ($-5 - 7 = -12$). Jadi, koordinat barunya adalah $(4, -12)$. Opsi B keliru menjumlahkan ordinat ($-5 + 7 = 2$), Opsi D keliru mengurangkan absis ($3 - 1 = 2$), dan Opsi A melakukan kedua kekeliruan tersebut.

Aplikasi nilai pergeseran langsung ke sebuah titik

Paradoks Pergeseran Persamaan

Untuk menghasilkan kurva yang bergeser ke kiri, nilai x di dalam persamaan fungsinya justru harus ditambah (+).

Secara nalar spasial, kita sering mengira bahwa "geser ke kiri" identik dengan tanda minus, sehingga persamaan baru kurva $g(x)$ yang digeser $2$ satuan ke kiri ditulis sebagai $(x - 2)$. Dugaan ini merupakan miskonsepsi yang sangat umum saat menyusun rumus fungsi hasil translasi.

Mengapa tandanya justru terbalik? Saat kita menulis persamaan fungsi, kita sebenarnya sedang mencari: "Berapa nilai $x$ input yang dibutuhkan agar bagian dalam kuadrat bernilai $0$ (kembali ke puncak lamanya)?" Pada bentuk $y = (x + 2)^2$, agar nilai dalam kurung menjadi nol, kita harus memasukkan $x = -2$. Akibatnya, seluruh kawat cetakan parabola tersebut berpuncak di sumbu x negatif (sebelah kiri).

Dengan prinsip ini, jika kurva asal $g(x) = x^2 - 6$ digeser $2$ satuan ke kiri dan $4$ satuan ke atas, persamaan fungsi barunya adalah:

$$f(x) = (x + 2)^2 - 6 + 4 = (x + 2)^2 - 2$$

Perhatikan bahwa dari persamaan $f(x) = (x + 2)^2 - 2$, kita dapat langsung membaca titik puncak parabola baru tersebut tanpa menghitung ulang dari awal: pembuat nol kuadrat adalah $x = -2$, dan konstanta luarnya adalah $y = -2$, yang menghasilkan koordinat $(-2, -2)$.

Fungsi asal adalah $w(x) = x^2$. Kita ingin menggeser kurva tersebut 5 satuan ke kanan. Manakah persamaan baru yang tepat dari fungsi tersebut?

  • y = (x - 5)^2
  • y = (x + 5)^2
  • y = x^2 - 5
  • y = x^2 + 5

Jawaban: y = (x - 5)^2

Pergeseran grafik ke arah kanan menuntut nilai $x$ dikurangi dengan besaran pergeserannya di dalam fungsi, yaitu $y = (x - 5)^2$. Opsi B adalah pergeseran ke arah kiri. Opsi C dan D keliru memperlakukan pergeseran horizontal sebagai pergeseran vertikal ke bawah atau ke atas.

Menyusun bentuk persamaan yang ditranslasikan pada sumbu x