Refleksi y = x dan Fungsi Invers

Visual Refleksi Parabola

Mencerminkan grafik terhadap garis $y = x$ tidak hanya memindahkan titik puncaknya, tetapi juga menukar orientasi kurvanya secara menyeluruh.

Bayangkan kamu menggambar kurva pada kertas gambar transparan, lalu melipat kertas tersebut tepat di sepanjang garis diagonal $y = x$. Garis sumbu horizontal (datar) kini menempati posisi sumbu vertikal (tegak), dan sebaliknya. Akibatnya, kurva parabola awal yang semula membuka ke atas (menyerupai huruf U) terlipat dan menjiplak menjadi kurva yang membuka ke arah kanan (menyerupai huruf C).

Perubahan orientasi ini menjelaskan letak kekeliruan umum saat menjawab soal. Titik puncak awal $(2, 0)$ memang berpindah secara simetris ke $(0, 2)$. Namun, bentuk grafiknya bukan lagi kurva kuadrat vertikal yang menghadap ke atas seperti $y = x^2 + 2$ pada Opsi C. Kurva yang membuka ke samping ini secara matematis mewakili relasi berbentuk $x = y^2$, yang nantinya akan diselesaikan menjadi bentuk fungsi akar.

Aljabar Menukar Variabel

Secara aljabar, cermin $y = x$ dieksekusi dengan menukar posisi variabel $x$ dan $y$ di dalam persamaan awal.

Karena pencerminan terhadap garis diagonal ini memetakan setiap koordinat sembarang $(x, y)$ menjadi $(y, x)$, aturan yang sama langsung berlaku pada rumus persamaannya. Pada grafik awal $y = (x - 2)^2$, kita cukup mengganti setiap kemunculan $y$ menjadi $x$, serta mengganti setiap $x$ menjadi $y$.

$$\text{Grafik awal: } y = (x - 2)^2 \quad \xrightarrow{\text{refleksi } y=x} \quad \text{Bayangan: } x = (y - 2)^2$$

Persamaan $x = (y - 2)^2$ adalah persamaan sah untuk bayangan kurva tersebut. Untuk menuliskan grafik bayangan ini kembali ke bentuk baku fungsi, misi kita berikutnya tinggal satu: menyelesaikan persamaan aljabar tersebut agar variabel $y$ berdiri sendiri di salah satu ruas.

Jika grafik $y = 3^{x+1}$ dicerminkan terhadap garis $y = x$, bagaimana bentuk persamaannya tepat setelah dicerminkan, sebelum disederhanakan?

  • $x = 3^{y+1}$
  • $y = x^{3+1}$
  • $x = y^{x+1}$
  • $y = 3^{x-1}$

Jawaban: $x = 3^{y+1}$

Refleksi terhadap garis $y = x$ menukar peran input dan output, sehingga setiap variabel $x$ diganti menjadi $y$ dan setiap $y$ diganti menjadi $x$. Oleh karena itu, $y = 3^{x+1}$ langsung berubah menjadi $x = 3^{y+1}$. Opsi B salah mengubah basis bilangan, Opsi C tidak menukar variabel secara tuntas, dan Opsi D terburu-buru mencari fungsi invers operasi sebelum menukar variabel.

Langkah pertama refleksi terhadap garis y = x adalah menukar posisi variabel x dan y dalam persamaan.

Melepas Kuadrat dengan Akar

Untuk membebaskan $y$ dari pangkat kuadrat, kita mengakarkan kedua ruas yang akan menghasilkan nilai plus/minus.

Kita mulai dari persamaan bayangan $x = (y - 2)^2$. Supaya bentuk kuadrat pada suku $(y - 2)$ hilang, kedua sisi persamaan kita berikan operasi akar kuadrat:

$$\sqrt{x} = \sqrt{(y - 2)^2} \implies \sqrt{x} = |y - 2|$$

Secara aljabar murni, persamaan dengan tanda mutlak ini berarti $\pm \sqrt{x} = y - 2$. Untuk menyisakan $y$ sendirian, angka $-2$ dipindahkan ke ruas seberang melalui operasi penjumlahan:

$$y = \pm \sqrt{x} + 2$$

Tentukan apakah hasil penyelesaian aljabar untuk $y$ berikut Benar atau Salah:

  • Dari $x = (y - 5)^2$ (untuk $y \ge 5$), kita mendapat $y = \sqrt{x} + 5$. — Benar
  • Dari $x = (y + 1)^2$ (untuk $y \ge -1$), kita mendapat $y = \sqrt{x + 1}$. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena saat kedua ruas diakarkan diperoleh $\sqrt{x} = y - 5$, sehingga ketika $-5$ dipindahkan ke ruas lain hasilnya $y = \sqrt{x} + 5$. Pernyataan 2 Salah karena konstanta $+1$ berada di luar akar setelah pengakaran ($\sqrt{x} = y + 1 \implies y = \sqrt{x} - 1$), bukan masuk ke dalam tanda akar menjadi $\sqrt{x + 1}$.

Penyelesaian aljabar bentuk kuadrat x = (y - c)^2 menghasilkan pemindahan konstanta di luar tanda akar.