Titik Temu Garis dan Parabola

Arti "Solusi" Secara Visual

Pernah nggak kamu ngerjain soal aljabar panjang-panjang, dapet jawaban $x = \dots, y = \dots$, tapi nggak benar-benar tau apa arti angka itu di dunia nyata?

Saat kita dikasih dua persamaan, seperti:

  1. $x + y = 6$

  2. $3x + y^2 = 7$

Mencari "solusi" dari dua persamaan itu sama persis dengan mencari di titik koordinat mana grafik kedua persamaan tersebut saling bertabrakan (berpotongan).

Setiap titik potong antara garis dan parabola ini adalah "pasangan solusi" $(x, y)$ yang kita cari. Artinya, kalau dari awal grafiknya memang posisinya berjauhan dan tidak pernah bersentuhan, berarti solusinya ya nol (tidak ada pasangan bilangan real yang memenuhi).

Secara visual (grafik), apa yang sebenarnya kita cari ketika kita diminta mencari 'solusi' dari sebuah sistem yang terdiri dari dua persamaan?

  • A. Solusi dari satu persamaan kuadrat saja
  • B. Selisih jarak antara dua grafik
  • C. Titik potong (pertemuan) antara grafik dari persamaan-persamaan tersebut
  • D. Titik di mana nilai x selalu sama dengan y

Jawaban: C. Titik potong (pertemuan) antara grafik dari persamaan-persamaan tersebut

Dalam geometri analitik, solusi yang memenuhi dua persamaan secara bersamaan adalah titik koordinat di mana grafik kedua persamaan tersebut saling berpotongan/bertabrakan.

Solusi sistem persamaan merepresentasikan titik potong grafiknya.

Substitusi: Jembatan Menuju Titik Potong

Wajar kalau kamu bingung, "Gimana cara gabungin dua persamaan yang bentuknya beda banget ini?"

Secara visual, kita ingin mencari tahu di mana garis dan parabola ada di koordinat yang sama. Secara aljabar, cara 'memaksa' mereka bertemu adalah dengan metode substitusi (penggantian). Kita 'meminjam' nilai dari satu persamaan untuk dimasukkan ke persamaan lain.

Pilih persamaan yang paling sederhana dulu: $x + y = 6$. Kita bisa mengubahnya menjadi $x = 6 - y$ atau $y = 6 - x$. Mana yang lebih baik?

Sekarang, ambil 'blok' $(6 - y)$ ini dan masukkan untuk menggantikan $x$ di persamaan kedua. Inilah momen di mana dua grafik tersebut resmi 'digabungkan' secara aljabar!

Dalam soal ini, kenapa mengubah persamaan linier menjadi x = 6 - y lebih disarankan daripada y = 6 - x?

  • A. Karena mengganti x (pangkat 1) jauh lebih mudah daripada mengganti y yang nantinya harus dikuadratkan.
  • B. Karena x selalu harus menjadi subjek dalam setiap sistem persamaan matematika.
  • C. Karena persamaan linier tidak bisa diubah menjadi y = 6 - x.
  • D. Karena y^2 tidak bisa menerima substitusi aljabar dalam bentuk apapun.

Jawaban: A. Karena mengganti x (pangkat 1) jauh lebih mudah daripada mengganti y yang nantinya harus dikuadratkan.

Kita memilih x = 6 - y agar saat dimasukkan ke 3x + y^2 = 7, kita tidak perlu mengkuadratkan (6-y). Kalau kita pilih y = 6 - x, kita harus menghitung (6-x)^2 yang lebih panjang dan rawan salah.

Pemilihan variabel substitusi didasarkan pada kepraktisan (menghindari operasi rumit seperti penguadratan binomial jika tidak perlu).

Menyederhanakan Persamaan Gabungan

Setelah kita menggabungkan kedua persamaan lewat substitusi, tujuan kita berikutnya cuma satu: membuang salah satu variabel agar kita dapat satu persamaan kuadrat murni (yang isinya cuma huruf $y$ saja).

Mari kita jabarkan hasil substitusinya pelan-pelan: $3(6 - y) + y^2 = 7$

Pertama, kalikan angka 3 ke dalam kurung: $18 - 3y + y^2 = 7$

Kedua, susun ulang urutannya berdasarkan pangkat tertinggi (dari $y^2$), dan pindahkan semua angka ke ruas kiri agar sama dengan nol. Kenapa harus sama dengan nol? Karena bentuk baku persamaan kuadrat ($ay^2 + by + c = 0$) adalah syarat mutlak sebelum kita bisa mengecek solusinya.

Pindahkan angka $7$: $y^2 - 3y + 18 - 7 = 0$

Hasil akhirnya: $y^2 - 3y + 11 = 0$