Dari Pinggiran Pizza ke Sudut Trigonometri
Peta Alur dan Keliling Lingkaran
Keliling lingkaran kecil dapat dicari dengan membandingkannya terhadap keliling lingkaran besar. Kalau sebuah soal geometri terasa rumit dan bertumpuk, kuncinya adalah memecahnya menjadi peta alur yang bertahap.
Bayangkan dua lingkaran ini seperti dua loyang pizza dengan ukuran berbeda: satu loyang besar dan satu loyang kecil.
Keliling lingkaran dianalogikan sebagai keliling, yaitu panjang total pinggiran roti pizza utuh (crust). Untuk mencari keliling lingkaran besar ($K_1$) dari diameternya ($d_1 = 21\text{ cm}$), kita gunakan rumus dasar keliling:
$$K_1 = \pi \cdot d_1 = \frac{22}{7} \cdot 21 = 66\text{ cm}$$
Soal memberitahu bahwa perbandingan keliling lingkaran besar dan kecil adalah $5 : 2$. Artinya, keliling pizza kecil ($K_2$) adalah dua perlima dari keliling pizza besar:
$$K_2 = \frac{2}{5} \cdot K_1 = \frac{2}{5} \cdot 66 = 26{,}4\text{ cm}$$
Dari Pinggiran ke Jari-Jari
Jari-jari lingkaran selalu dapat dihitung jika kelilingnya sudah diketahui dengan membalik rumusnya. Setelah mengetahui bahwa panjang pinggiran roti pizza kecil utuh adalah $K_2 = 26{,}4\text{ cm}$, langkah berikutnya adalah mencari jarak dari titik pusat pizza ke tepiannya, yaitu jari-jari ($r_2$).
Rumus keliling lingkaran adalah $K = 2 \cdot \pi \cdot r$. Jika dibalik secara aljabar untuk mencari jari-jari, rumusnya menjadi:
$$r = \frac{K}{2\pi}$$
Dengan memasukkan keliling pizza kecil ($K_2 = 26{,}4\text{ cm}$), kita peroleh jari-jari lingkaran kecil:
$$r_2 = \frac{26{,}4}{2\pi} = \frac{13{,}2}{\pi}\text{ cm}$$
Sebuah roda sepeda memiliki keliling luar sebesar $44\text{ cm}$. Berapakah panjang jari-jari roda tersebut?
- $\frac{44}{2\pi}\text{ cm}$
- $\frac{44}{\pi}\text{ cm}$
- $44 \cdot 2\pi\text{ cm}$
- $44\pi\text{ cm}$
Jawaban: $\frac{44}{2\pi}\text{ cm}$
Rumus keliling adalah $K = 2\pi r$. Membalik rumus ini menghasilkan $r = \frac{K}{2\pi} = \frac{44}{2\pi}\text{ cm}$. Opsi B salah karena lupa membagi dengan 2 (itu rumus mencari diameter). Opsi C dan D salah karena keliling malah dikalikan dengan konstanta, bukan dibagi.
Membalik rumus keliling lingkaran untuk mencari jari-jari.
Menghubungkan Busur dan Sudut
Panjang busur menentukan besar sudut pusat jika dikaitkan dengan jari-jari lingkarannya. Jika keliling adalah pinggiran seluruh pizza, maka busur adalah panjang pinggiran roti pada satu potongan pizza saja.
Semakin lebar sudut di ujung potongan pizza dibuka, pinggiran lengkung di luarnya akan semakin panjang. Sebaliknya, potongan pizza yang ramping memiliki pinggiran busur yang pendek.
Hubungan langsung antara panjang busur ($w$), jari-jari lingkaran ($r$), dan besar sudut potongannya ($A$) dirumuskan sebagai:
$$w = A \cdot r$$
Rumus ini berlaku ketika sudut dinyatakan dalam satuan radian (satuan pengukuran sudut di mana satu putaran penuh adalah $2\pi\text{ radian}$). Sekarang, masukkan nilai dari soal: panjang busur $w = 3{,}3\text{ cm}$ dan jari-jari $r_2 = \frac{13{,}2}{\pi}\text{ cm}$.
$$3{,}3 = A \cdot \frac{13{,}2}{\pi}$$
Untuk mencari nilai sudut $A$, kedua ruas dikalikan dengan $\pi$ lalu dibagi dengan $13{,}2$:
$$A = \frac{3{,}3\pi}{13{,}2} = \frac{1}{4}\pi = \frac{\pi}{4}\text{ radian}$$
Karena $\pi\text{ radian} = 180^\circ$, maka $\frac{\pi}{4}\text{ radian}$ sama dengan $\frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$.