Membongkar Polinomial dengan Kesamaan

Logika Balik Pembagian

Jika A dibagi B hasilnya C tanpa sisa, maka B dikali C pasti sama persis dengan A.

Bayangkan pembagian bilangan cacah biasa: saat kita membagi $24$ dengan $6$, hasilnya adalah $4$ tanpa sisa. Artinya, kita selalu bisa membalik relasi tersebut menjadi operasi perkalian, yaitu $6 \times 4 = 24$. Logika pembalikan ini berlaku secara universal, termasuk pada bentuk aljabar seperti polinomial (suku banyak).

Ilustrasi susunan kotak-kotak barang yang dibagi rata menunjukkan konsep kebalikan pembagian dan perkalian.

Dalam aljabar polinomial, jika polinomial yang dibagi adalah $P$, pembaginya adalah $Q$, dan hasil baginya adalah $H$, maka kondisi habis dibagi (sisa pembagian sama dengan nol) menghasilkan hubungan:

$$P = Q \times H$$

Prinsip ini dikenal sebagai kesamaan polinomial atau identitas aljabar. Kita tidak selalu harus berkutat dengan perhitungan sisa pembagian yang rumit atau memaksakan metode Horner ketika bentuk pembaginya berderajat tinggi. Cukup dengan mengetahui atau menyusun bentuk hasil bagi ($H$), kita bisa mengalikannya kembali dengan pembagi untuk menemukan bentuk awal secara utuh.

Menebak Derajat Hasil Bagi

Derajat dari hasil bagi adalah selisih antara derajat polinomial yang dibagi dengan derajat pembagi.

Saat mengalikan dua suku aljabar berpangkat, misalnya $x^a$ dengan $x^b$, sifat eksponen menyatakan bahwa pangkatnya dijumlahkan menjadi $x^{a+b}$. Karena hubungan pembagian tanpa sisa dituliskan sebagai perkalian $P = Q \times H$, maka derajat suku tertingginya pun saling menjumlahkan:

$$\text{Derajat } P = \text{Derajat } Q + \text{Derajat } H$$

Jika kita balik formulanya untuk mencari derajat hasil bagi, kita peroleh hubungan pengurangan:

$$\text{Derajat } H = \text{Derajat } P - \text{Derajat } Q$$

Pada soal yang kita hadapi, polinomial yang dibagi berderajat $4$ dan pembaginya berderajat $3$. Dengan mengurangkan kedua derajat tersebut ($4 - 3 = 1$), kita tahu pasti bahwa hasil baginya berderajat $1$ (bentuk linier $ax+b$), bukan berderajat $2$. Miskonsepsi mengira hasil bagi berderajat $2$ sering kali memicu salah hitung, seperti langsung memangkatkan dua hasil pengurangan dan keliru memilih Opsi A ($9$).

Sebuah polinomial berderajat 5 dibagi oleh polinomial berderajat 2 dan habis dibagi. Berapakah derajat dari polinomial hasil baginya?

  • 2
  • 7
  • 3
  • 10

Jawaban: 3

Derajat hasil bagi merupakan selisih derajat polinomial yang dibagi dengan polinomial pembagi: 5 - 2 = 3. Opsi A keliru karena menyamakan dengan derajat pembagi, Opsi B keliru menjumlahkan derajat (5 + 2), dan Opsi D keliru mengalikan derajat (5 × 2).

Derajat hasil bagi didapat dari mengurangkan derajat pembilang dengan penyebut.

Mencari Hasil Bagi Tepat

Hasil bagi dapat ditentukan dengan hanya membagi suku pangkat tertinggi dari pembilang dengan suku pangkat tertinggi dari penyebut.

Kita tidak perlu menyelesaikan seluruh pembagian bersusun yang panjang untuk mengetahui bentuk hasil baginya. Karena suku pangkat tertinggi pada polinomial yang dibagi adalah $x^4$ dan suku tertinggi pada pembagi adalah $x^3$, kita cukup membagikan kedua suku terdepan ini:

$$\frac{x^4}{x^3} = x$$

Ini memastikan bahwa suku pertama dari hasil bagi adalah $x$. Mengingat derajat hasil bagi adalah $1$, maka bentuk umumnya cukup dituliskan sebagai $(x + c)$.

Skema pembagian bersusun polinomial yang menyorot suku berpangkat tertinggi.

Pada langkah pembagian bersusun pertama, saat $x$ dikalikan ke pembagi $x^3 + 2x^2 + 8x + 6$ dan dikurangkan dari suku awal $x^4 + 4x^3 + \dots$, suku kubik yang tersisa adalah $4x^3 - 2x^3 = 2x^3$. Pembagian suku kubik ini dengan suku depan pembagi menghasilkan:

$$\frac{2x^3}{x^3} = 2$$

Karena sisa pembagian pada akhirnya harus nol, konstanta pada hasil bagi haruslah $2$. Dengan demikian, polinomial hasil baginya adalah $(x + 2)$.