Membongkar Perbandingan Bertingkat & Rahasia Segitiga

Jembatan Rasio: Menyamakan Elemen yang Sama

Pernah nggak kamu punya dua kelompok teman yang saling terhubung lewat satu orang? Misalnya, kamu tahu perbandingan permen milikmu dan Budi, lalu kamu juga tahu perbandingan permen Budi dan Caca. Masalahnya, "Budi" di cerita pertama dan "Budi" di cerita kedua seolah-olah punya ukuran yang beda.

Di soal ini, kita punya $A : B = 5 : 7$ dan $B : C = 5 : 3$. Kalau kita mau membandingkan A langsung dengan C, kita nggak bisa main sambung aja. Kenapa? Karena nilai "B" di rasio pertama adalah 7, sedangkan di rasio kedua adalah 5. Budi seolah-olah pakai dua mata uang yang beda!

Kunci untuk menggabungkan dua perbandingan ini adalah menyamakan nilai elemen yang mengikat keduanya (si B). Caranya persis seperti menyamakan penyebut pecahan: kita cari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari angka miliknya B, yaitu 7 dan 5.

KPK dari 7 dan 5 adalah 35. Agar skalanya nggak rusak:

• Rasio pertama ($5:7$) kita kalikan 5, sehingga $A:B$ menjadi $25 : 35$.

• Rasio kedua ($5:3$) kita kalikan 7, sehingga $B:C$ menjadi $35 : 21$.

Sekarang, karena nilai B udah sama-sama 35, kita bisa satukan mereka jadi satu garis ukur yang sama: $A : B : C = 25 : 35 : 21$.

Menghitung Total dengan Faktor 'k'

Setelah menggabung rasio, kita dapat $A : B : C = 25 : 35 : 21$. Tapi ingat, rasio itu ibarat resep, bukan wujud aslinya. Kalau resep bilang "25 gelas terigu dan 35 gelas air", gelasnya bisa segede cangkir atau segede ember, kan?

Angka 25, 35, dan 21 itu bukan nilai aslinya, melainkan bentuk rasio paling sederhana. Untuk memodelkan wujud aslinya tanpa merusak perbandingan, kita butuh sebuah "ukuran gelas", yang di matematika sering kita sebut sebagai faktor pengali $k$.

Dengan menambah $k$, kita dapat wujud asli mereka:

• $A = 25k$

• $B = 35k$

• $C = 21k$ ($k$ adalah bilangan bulat positif yang seragam untuk ketiganya).

Coba kita pakai $k$ ini untuk mengecek Pernyataan I: "Perbandingan antara jumlah $(A + C)$ dengan $B$ adalah $46 : 30$." Yuk, kita hitung pakai resep aslinya! Jumlah $A + C = 25k + 21k = 46k$.

Lalu bandingkan dengan $B$: $\dfrac{A + C}{B} = \dfrac{46k}{35k}$

Karena $k$ adalah ukuran yang sama, variabelnya bisa dicoret (disederhanakan). Rasionya secara absolut jadi $46 : 35$. Pernyataan I mengklaim rasionya $46 : 30$, yang mana tidak sesuai perhitungan kita, sehingga jelas-jelas SALAH.

Mencari Nilai k dari FPB

Masuk ke Pernyataan II yang melibatkan FPB (Faktor Persekutuan Terbesar). Soal bilang $FPB(A, B, C) = 2$. Bagaimana informasi sekecil ini bisa membuka jalan buat menghitung jumlah total $A+B+C$?

Ingat lagi wujud asli bilangan kita: $A = 25k$, $B = 35k$, dan $C = 21k$. Mencari FPB berarti kita berburu angka terbesar yang bisa membagi habis ketiga bilangan itu sekaligus.

Karena ketiga bilangan mengandung $k$, sudah pasti $k$ adalah faktor pembagi mutlak mereka. Pertanyaannya, apakah angka dasarnya (25, 35, dan 21) punya pembagi lain yang sama?

Mari kita bedah koefisiennya (faktorisasi prima):

• $25 = 5 \times 5$

• $35 = 5 \times 7$

• $21 = 3 \times 7$

Ternyata, tidak ada satupun angka yang muncul di ketiga kelompok itu sekaligus! (Angka 5 cuma ada di 25 dan 35, angka 7 cuma ada di 35 dan 21). Artinya, FPB dari koefisien 25, 35, dan 21 hanyalah 1.

Karena angka dasar tidak menyumbang FPB ekstra, maka FPB dari $(25k, 35k, 21k)$ murni hanya berasal dari nilai $k$ itu sendiri. $FPB(A, B, C) = k \times 1 = k$

Karena soal sudah menetapkan FPB-nya = 2, maka kita langsung temukan $k = 2$. Sekarang tinggal selesaikan perhitungan jumlah ketiganya: $A+B+C = (25 + 35 + 21)k = 81k$. Masukkan $k = 2$, hasilnya $81 \times 2 = 162$.

Pernyataan II mengklaim jumlahnya 152. Berarti Pernyataan II bernilai SALAH.