Bongkar Rumus Selisih Logaritma

Terjemahan Bahasa Pangkat

Setiap ekspresi logaritma sebenarnya adalah bentuk penulisan lain dari sebuah persamaan eksponen. Mengerjakan logaritma itu seperti melakukan pekerjaan detektif mencari 'siapa pangkat yang hilang' dengan cara membaca ulang petunjuknya ke dalam bahasa asli, yaitu eksponen.

Ketika kita melihat bentuk:

$$^2\log 16 = 4$$

Artinya bukan $16$ dibagi $2$! Persamaan tersebut adalah cara lain untuk menanyakan: "Bilangan basis $2$ harus dipangkatkan berapa agar menghasilkan numerus $16$?" Jawabannya adalah pangkat $4$, karena secara ekuivalen:

$$2^4 = 16$$

Membongkar Sifat Selisih

Sifat pengurangan logaritma adalah turunan langsung dari sifat pembagian eksponen yang memiliki basis sama. Aturan $^a\log x - \ ^a\log y = \ ^a\log\left(\frac{x}{y}\right)$ bukan rumus hafalan yang muncul tiba-tiba, melainkan konsekuensi logis dari aturan pangkat.

Diagram translasi timbal balik antara bentuk eksponen b pangkat c sama dengan a dan bentuk logaritma b log a sama dengan c.

Mari kita buktikan menggunakan angka suku basis $2$ pada soal: kita ingin menyederhanakan $^2\log 48 - \ ^2\log 3$.

  1. Terjemahkan ke bahasa eksponen melalui pemisalan:

    $$m = \ ^2\log 48 \iff 2^m = 48$$

    $$n = \ ^2\log 3 \iff 2^n = 3$$

  2. Bagi kedua persamaan eksponen tersebut:

    $$\frac{2^m}{2^n} = \frac{48}{3}$$

  3. Gunakan sifat pembagian eksponen dengan basis sama (pangkat dikurangkan):

    $$2^{m - n} = 16$$

  4. Kembalikan persamaan eksponen ini ke bentuk logaritma:

    $$m - n = \ ^2\log 16$$

Karena di awal kita menetapkan $m = \ ^2\log 48$ dan $n = \ ^2\log 3$, terbukti bahwa:

$$^2\log 48 - \ ^2\log 3 = \ ^2\log\left(\frac{48}{3}\right) = \ ^2\log 16$$

Tentukan kebenaran pernyataan berikut terkait pembuktian ^a\log(xy) = \ ^a\log x + \ ^a\log y.

  • Sifat ini dibuktikan dengan cara mengalikan bentuk eksponen a^m = x dan a^n = y. — Benar
  • Rumus ini tetap berlaku meskipun kedua logaritma memiliki basis yang berbeda asalkan x dan y bisa dikalikan. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Penjumlahan logaritma berasal dari perkalian eksponen dengan basis sama, di mana pangkatnya dijumlahkan (a^m * a^n = a^(m+n)). Pernyataan 2 Salah: Operasi penyatuan logaritma hanya berlaku jika kedua logaritma memiliki basis yang persis sama. Jika basisnya berbeda, sifat penggabungan tidak dapat digunakan secara langsung.

Sifat dasar operasi logaritma diwarisi dari operasi pada eksponen dengan basis sejenis.

Mengeksekusi Soal Campuran

Sifat operasi logaritma menuntut kesamaan basis, sehingga pada soal yang panjang kita harus mengelompokkan suku-suku berbasis sejenis terlebih dahulu. Menyatukan logaritma dengan basis yang berbeda secara langsung tidak diperbolehkan.

Ekspresi lengkap dari soal adalah:

$$^2\log 48 - \ ^2\log 3 + \ ^5\log 50 - \ ^5\log 2$$

Mari selesaikan secara bertahap:

  1. Kelompokkan berdasarkan basis yang sama:

    $$\left(^2\log 48 - \ ^2\log 3\right) + \left(^5\log 50 - \ ^5\log 2\right)$$

  2. Terapkan sifat pengurangan logaritma pada tiap kelompok:

    • Kelompok basis $2$:

      $$^2\log 48 - \ ^2\log 3 = \ ^2\log\left(\frac{48}{3}\right) = \ ^2\log 16$$

    • Kelompok basis $5$:

      $$^5\log 50 - \ ^5\log 2 = \ ^5\log\left(\frac{50}{2}\right) = \ ^5\log 25$$

  3. Evaluasi nilai logaritma masing-masing:

    • Untuk $^2\log 16$: karena $2^4 = 16$, nilainya adalah $4$.

    • Untuk $^5\log 25$: karena $5^2 = 25$, nilainya adalah $2$.

  4. Jumlahkan kedua hasil:

    $$4 + 2 = 6$$