Bilangan Rasional vs Irasional

Peta Sistem Bilangan Real

Semesta bilangan real terbagi tegas menjadi dua kelompok yang tidak beririsan: bilangan rasional dan irasional.

Secara formal, Bilangan Rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan $\frac{p}{q}$ dengan $p$ dan $q$ berupa bilangan bulat, serta $q \neq 0$. Dalam representasi desimal, bilangan rasional selalu berujung terputus (seperti $5 = \frac{5}{1}$ atau $0{,}5 = \frac{1}{2}$) atau memiliki pola berulang yang teratur (seperti $0{,}333\dots = \frac{1}{3}$). Seluruh bilangan bulat dan pecahan biasa berada di dalam kelompok ini.

Sebaliknya, Bilangan Irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan $\frac{p}{q}$. Representasi desimalnya tak berujung dan tak pernah membentuk pola berulang beraturan, seperti konstanta $\pi \approx 3{,}14159\dots$ atau bentuk akar kuadrat tak sempurna seperti $\sqrt{2} \approx 1{,}41421\dots$.

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan bilangan rasional dan irasional selalu menghasilkan bilangan irasional, namun pengurangan bilangan irasional dengan dirinya sendiri menghasilkan bilangan rasional.

Pertama, mari amati operasi pengurangan bilangan irasional dengan dirinya sendiri pada Opsi E ($b - b$). Pengurangan suatu nilai dengan bilangan itu sendiri selalu menghasilkan:

$$b - b = 0$$

Karena angka $0$ dapat dituliskan sebagai pecahan $\frac{0}{1}$, angka $0$ merupakan bilangan rasional. Oleh karena itu, klaim pada Opsi E bahwa $b - b$ selalu menghasilkan bilangan irasional bernilai salah.

Bagaimana dengan penjumlahan antara bilangan rasional $a$ dan bilangan irasional $b$ pada Opsi A? Kita dapat mengujinya menggunakan Bukti Kontradiksi, yaitu metode pembuktian dengan mengandaikan kebalikannya terlebih dahulu hingga menemukan hal yang mustahil.

Karena pengandaian kita menghasilkan kemustahilan, maka pengandaian tersebut gugur. Akibatnya, nilai $a + b$ tidak pernah bisa menjadi rasional; hasilnya selalu berupa bilangan irasional. Pernyataan pada Opsi A yang menyebutkan $a + b$ dapat berupa rasional maupun irasional terbukti salah.

Perkalian dan Pembagian

Perkalian bilangan rasional tak nol dengan bilangan irasional dipastikan menghasilkan bilangan irasional.

Mari kita buktikan kebenaran Opsi B menggunakan Bukti Kontradiksi. Diketahui $a$ adalah bilangan rasional tak nol ($a \neq 0$) dan $b$ adalah bilangan irasional.

Kontradiksi ini melanggar fakta bahwa $b$ adalah irasional. Maka pengandaian harus salah, sehingga $a \times b$ dipastikan merupakan bilangan irasional. Syarat $a \neq 0$ sangat krusial di sini; andai $a = 0$, perkalian $0 \times b = 0$ akan menghasilkan bilangan rasional.

Logika kontradiksi yang persis sama mematahkan pernyataan pada Opsi D, yang mengklaim $\frac{a}{b}$ dapat berupa bilangan bulat. Andaikan $\frac{a}{b} = k$ (dengan $k$ bilangan bulat, yang berarti $k$ rasional dan $k \neq 0$ karena $a \neq 0$). Maka dengan membalik aljabar, kita peroleh:

$$b = \frac{a}{k}$$

Karena $a$ dan $k$ keduanya rasional, nilai $\frac{a}{k}$ haruslah rasional. Ini kembali memaksa $b$ menjadi rasional, menciptakan kontradiksi. Jadi, hasil bagi $\frac{a}{b}$ mustahil menghasilkan bilangan bulat.