Eksekusi Peluang Komplemen
Struktur Himpunan Data: Memetakan Isi Kantong
Langkah pertama yang paling esensial dalam persoalan kombinatorika —terutama ketika ada elemen yang berulang— adalah memetakan komposisi penyusun ruang semesta kita. Jangan terburu-buru menghitung sebelum kamu tahu persis apa saja "isi kantongnya".
Jika kita bedah, kata STATISTIKA sejatinya terdiri dari 10 benda (bola) fisik. Rincian frekuensi elemennya adalah:
S: 2 bola
T: 3 bola
A: 2 bola
I: 2 bola
K: 1 bola
Tujuan akhir kita adalah mencari peluang terambilnya 2 bola dengan huruf yang berlainan. Karena ada banyak sekali jenis kombinasi huruf yang berbeda (misalnya: S-T, S-A, T-A, I-K, dsb), menghitungnya secara langsung akan sangat panjang dan rawan terlewat.
Langkah 1: Ruang Sampel Total
Sebelum masuk ke syarat huruf sama atau berbeda, kita butuh "batu pijakan" pertama: total ruang sampel.
Bayangkan ke-10 bola tadi dibalik sehingga kamu tidak bisa melihat hurufnya. Mereka hanyalah 10 benda fisik. Kamu diminta untuk mengambil 2 bola sekaligus.
Dalam proses ini, tidak ada yang namanya bola "pertama" atau "kedua" — yang penting pada akhirnya ada 2 bola di tanganmu. Mengambil bola S₁ dan T₁ persis sama maknanya dengan mengambil T₁ dan S₁. Karena urutan pengambilan diabaikan, kita menggunakan rumus Kombinasi dari total objek.
Total bola yang ada ($n$) = 10 Banyaknya bola yang diambil ($r$) = 2
Mari kita jabarkan faktorialnya untuk memudahkan pencoretan angka yang sama:
Artinya, tanpa melihat huruf apa yang tercetak di permukaannya, terdapat tepat 45 pasang bola berbeda yang bisa ditarik keluar dari kantong. Angka 45 ini akan jadi pembagi (penyebut) untuk mencari peluang akhir kita.
Kenapa kita secara matematis menggunakan rumus Kombinasi $C(10,2)$ dan BUKAN Permutasi $P(10,2)$ untuk mencari ruang sampel dalam kasus di atas?
- A. Karena kita mengambil bola satu per satu dan mengembalikannya lagi.
- B. Karena urutan bola yang terambil tidak membedakan hasil pasangan tersebut (S-T adalah pasangan yang sama dengan T-S).
- C. Karena ada huruf yang jumlahnya lebih dari satu di dalam kantong.
- D. Karena rumus permutasi hanya boleh dipakai jika semua objeknya berbeda total.
Jawaban: B. Karena urutan bola yang terambil tidak membedakan hasil pasangan tersebut (S-T adalah pasangan yang sama dengan T-S).
Pengambilan sekaligus secara acak tidak mempedulikan urutan benda tersebut ada di tangan kanan atau kiri. A dan B terambil = B dan A terambil. Ini ciri mutlak konsep kombinasi!
Kita menggunakan kombinasi ketika urutan kemunculan objek tidak membentuk hasil kejadian yang berbeda.
Langkah 2: Kejadian Komplemen (Huruf Sama)
Mari kita beralih ke strategi kita: menghitung kejadian komplemen. Berapa banyak kemungkinan kita justru menarik 2 bola berhuruf sama persis?
Syarat mutlak agar bisa ditarik 2 huruf yang sama adalah: huruf tersebut minimal harus memiliki 2 bola. Kita sisir kembali pemetaan huruf kita dengan rumus kombinasi:
Huruf S (ada 2): Mengambil 2 dari 2 bola $\rightarrow C(2,2) = \frac{2!}{0! \times 2!} = 1$ cara.
Huruf A (ada 2): Mengambil 2 dari 2 bola $\rightarrow C(2,2) = 1$ cara.
Huruf I (ada 2): Mengambil 2 dari 2 bola $\rightarrow C(2,2) = 1$ cara.
Huruf K (ada 1): Karena kurang dari batas $r=2$, kejadian ini mustahil ($\rightarrow 0$ cara).
Lalu, bagaimana dengan Huruf T yang jumlahnya ada 3?
Kombinasi mengambil 2 bola dari kumpulan 3 bola (T₁, T₂, T₃) adalah $C(3,2)$. Secara matematis:
Total pasangan yang memiliki huruf sama adalah jumlah dari semua kemungkinan per-huruf tadi:
Inilah jumlah dari "apa yang tidak kita inginkan".
Berapa banyak cara mengambil pasangan huruf K yang sama dari kata STATISTIKA, dan mengapa?
- A. 1 cara, karena ada tepat 1 bola K.
- B. 2 cara, karena jumlah bola yang diminta soal adalah 2 buah.
- C. 0 cara, karena hanya ada 1 huruf K sehingga tidak mungkin dipasangkan dengan K lainnya.
- D. 0.5 cara, karena setengah pasang.
Jawaban: C. 0 cara, karena hanya ada 1 huruf K sehingga tidak mungkin dipasangkan dengan K lainnya.
Kombinasi $C(1,2)$ bernilai 0. Kalau kita mencari 2 benda yang sama, tapi bendanya hanya ada 1 di semesta, kejadian itu otomatis mustahil terjadi.
Syarat logis dasar pengambilan kombinasi adalah jumlah ketersediaan benda ($n$) harus lebih besar atau sama dengan jumlah benda yang diambil ($r$).