Fungsi Ceiling, Fraksi, & Tarif Parkir

Fungsi Ceiling = Sistem Parkir

Kamu sudah benar saat menjawab $\lceil 2,3 \rceil = 3$. Ini adalah definisi dari fungsi ceiling (pembulatan ke atas). Tapi, biar konsepnya lebih "hidup" dan gampang dipakai buat analisis soal, mari kita pakai analogi sehari-hari.

Fungsi ceiling ($\lceil x \rceil$) itu bekerja persis seperti sistem tarif parkir yang sering kita temui: dihitung per jam atau bagian darinya.

Mesin parkir di pinggir jalan yang menghitung tarif per jam Gambar: Kurt Kaiser, CC0 — Wikimedia Commons

Bayangkan ada aturan parkir: "Rp5.000 per jam, kelebihan menit berapapun masuk ke jam berikutnya".

Di soal, kita punya persamaan $\lceil u \rceil = \lceil u + 0{,}1 \rceil$. Dalam analogi parkir kita, persamaan ini berarti: Tarif parkir untuk durasi $u$ sama persis dengan tarif jika durasi ditambah $0{,}1$ (sekitar 6 menit).

Manakah dari persamaan berikut yang bernilai benar?

  • A. $\lceil 4,1 \rceil = \lceil 4,1 + 0,5 \rceil$
  • B. $\lceil 4,8 \rceil = \lceil 4,8 + 0,5 \rceil$
  • C. $\lceil 4,3 \rceil = \lceil 4,3 + 0,5 \rceil$
  • D. $\lceil 4,9 \rceil = \lceil 4,9 + 0,5 \rceil$

Jawaban: C. $\lceil 4,3 \rceil = \lceil 4,3 + 0,5 \rceil$

$\lceil 4,3 \rceil = 5$. Jika ditambah $0,5$ menjadi $4,8$, maka $\lceil 4,8 \rceil = 5$. Nilainya tetap sama karena $4,8$ belum menembus angka $5$.

Fungsi ceiling menghasilkan nilai yang sama jika penambahan pada angkanya tidak membuatnya melewati bilangan bulat berikutnya.

Misteri Kurung Kurawal $\{u\}$

Misteri Kurung Kurawal $u$

Sebelum kita bedah syarat kapan tarif parkir "naik", kita harus luruskan dulu satu jebakan notasi.

Waktu awal melihat soal, kamu mungkin mengira $u$ adalah notasi himpunan matematika biasa yang isinya cuma variabel $u$. Wajar banget, karena kurung kurawal memang sering dipakai buat himpunan. Tapi di matematika, satu simbol bisa punya makna beda tergantung konteks.

Dalam konteks angka riil dan fungsi pembulatan (seperti floor dan ceiling), $u$ didefinisikan sebagai bagian desimal (atau fractional part) dari angka $u$.

Setiap angka $u$ bisa dipecah jadi dua komponen utama: Bilangan Bulat + Bagian Desimal Secara matematis ditulis: $u = n + u$

Balik ke analogi parkir kita: $n$ adalah "jam penuh" yang udah kamu lewati, dan $u$ adalah "kelebihan menit"-nya. Kelebihan menit inilah yang bakal nentuin apakah kamu kena tarif jam berikutnya atau aman.

Tentukan benar atau salah pernyataan berikut mengenai bagian desimal $\{u\}$!

  • Jika $u = 2,75$, maka $\{u\} = 0,75$. — Benar
  • Jika $u = 5$, maka $\{u\}$ adalah himpunan kosong. — Salah
  • Nilai dari $\{u\}$ selalu lebih kecil dari 1. — Benar

$\{2,75\} = 0,75$. Untuk bilangan bulat seperti $5$, bagian desimalnya adalah $0$. Notasi kurung kurawal dalam konteks ini bukan berarti himpunan.

$\{u\}$ mewakili nilai desimal di belakang koma dari sebuah bilangan, selalu bernilai $0 \le \{u\} < 1$.

Batas Aman Sebelum 'Tumpah'

Sekarang kita gabungin dua idenya: aturan batas jam (ceiling) dan bagian desimal alias "kelebihan menit" ($u$).

Di soal, kita punya syarat: $\lceil u \rceil = \lceil u + 0{,}1 \rceil$. Artinya, penambahan $0{,}1$ ke bagian desimal $u$ tidak boleh membuat nilainya mencapai angka bulat berikutnya.

Bayangkan kamu lagi isi air ke gelas yang hampir penuh (batas penuh = angka 1 bulat).

Secara matematika, syarat amannya ditulis begini: $u + 0{,}1 \le 1$ $u \le 1 - 0{,}1$ $u \le 0{,}9$

Coba mainkan slider di bawah untuk melihat titik krisis saat penambahan $0{,}1$ membuat nilai ceiling "tumpah".

Jika ada persamaan baru $\lceil u \rceil = \lceil u + 0,3 \rceil$, berapakah batas maksimal nilai bagian desimal $\{u\}$ yang aman?

  • A. $\{u\} \le 0,5$
  • B. $\{u\} \le 0,7$
  • C. $\{u\} \le 0,3$
  • D. $\{u\} < 1$

Jawaban: B. $\{u\} \le 0,7$

Syarat amannya adalah $\{u\} + 0,3 \le 1$, sehingga $\{u\} \le 0,7$.

Agar penambahan $x$ tidak menaikkan nilai ceiling, bagian desimal awal harus $\le 1 - x$.