Analisis Dimensi dari Nol

Dimensi: 'DNA' dari Besaran Fisika

Pernahkah kamu bingung saat melihat angka panjang dan huruf-huruf rumit di akhir sebuah perhitungan fisika? Sebelum pusing mikirin rumusnya, kita harus kenalan dulu dengan dimensi.

Bayangkan kamu sedang membuat kue. Untuk membuat adonan dasar, kamu butuh bahan-bahan inti seperti tepung, gula, dan telur. Nah, tepung, gula, dan telur ini adalah sifat dasarnya — di fisika, inilah yang kita sebut sebagai dimensi. Sedangkan 500 gram tepung atau 2 sendok gula adalah takarannya, yang di fisika kita sebut satuan (seperti kilogram, meter, atau inci).

Di mekanika dasar, ternyata "kue" alam semesta ini cuma butuh 3 bahan utama (yang kita sebut besaran pokok):

Massa, kita lambangkan dengan $[\text{M}]$ (dari Mass).
Panjang, kita lambangkan dengan $[\text{L}]$ (dari Length).
Waktu, kita lambangkan dengan $[\text{T}]$ (dari Time).

Semua besaran lain yang lebih rumit seperti kecepatan, gaya, atau energi (disebut besaran turunan) pada dasarnya hanyalah kombinasi hasil perkalian atau pembagian dari ketiga bahan dasar $[\text{M}]$, $[\text{L}]$, dan $[\text{T}]$ ini. Jadi, dengan mengetahui dimensinya, kita jadi tahu dari bahan apa saja sebuah besaran itu dibentuk!

Berdasarkan analogi bahan kue, apa perbedaan utama antara dimensi dan satuan?

A. Dimensi mengukur nilai pasti, satuan mengukur perkiraan.
B. Dimensi adalah jenis atau sifat dasarnya, satuan adalah takaran spesifiknya.
C. Dimensi hanya dipakai di mekanika, satuan dipakai di semua cabang fisika.
D. Dimensi selalu memiliki angka, satuan hanya huruf.

Jawaban: B. Dimensi adalah jenis atau sifat dasarnya, satuan adalah takaran spesifiknya.

Sama seperti membuat kue: dimensi itu jenis bahannya (misal terigu), sedangkan satuan itu takarannya (misal 500 gram).

Dimensi adalah sifat dasar besaran, sementara satuan adalah ukuran atau skalanya.

Menerjemahkan Satuan ke Dimensi

Sekarang kita tahu bahwa dimensi itu ibarat bahan dasarnya. Tapi kalau kita punya satuan dari sebuah besaran, bagaimana cara tahu dimensinya? Caranya gampang: kita cukup menerjemahkan satu per satu.

Kalau kamu tahu satuan dasar dari suatu besaran (dalam sistem SI), kamu bisa langsung menuliskan rumus dimensinya dengan mengganti satuan itu ke simbol dimensi dasar. Ini seperti pakai kamus translasi sederhana.

Aturan terjemahan dasarnya cuma tiga:

Kilogram ($\text{kg}$) diterjemahkan menjadi massa $[\text{M}]$.
Meter ($\text{m}$) diterjemahkan menjadi panjang $[\text{L}]$.
Sekon ($\text{s}$) diterjemahkan menjadi waktu $[\text{T}]$.

Mari kita terapkan ke besaran $\text{Y}$ dari soal tadi yang satuannya $\text{kg/m}^3$ (biasa disebut massa jenis).

Bagian atas ada $\text{kg}$, berarti ini adalah $[\text{M}]$.
Bagian bawah ada $\text{m}^3$, berarti ini adalah $[\text{L}]^3$.

Maka, dimensinya adalah $\frac{[\text{M}]}{[\text{L}]^3}$.

Lalu untuk besaran $\text{Z}$ yang satuannya $\text{m/s}$:

Bagian atas meter ($\text{m}$) menjadi $[\text{L}]$.
Bagian bawah sekon ($\text{s}$) menjadi $[\text{T}]$. Hasilnya $\frac{[\text{L}]}{[\text{T}]}$ atau ditulis $[\text{L}][\text{T}]^{-1}$.

Jika satuan gaya adalah kg·m/s², bagaimana bentuk dimensinya?

A. [M]²[L][T]⁻¹
B. [M][L]²[T]⁻²
C. [L][T]⁻²
D. [M][L][T]⁻²

Jawaban: D. [M][L][T]⁻²

kg adalah Massa [M], meter adalah Panjang [L], dan s² di bawah per adalah Waktu pangkat minus 2 [T]⁻². Digabung menjadi [M][L][T]⁻².

Menerjemahkan satuan kg·m/s² ke dalam dimensi menghasilkan [M][L][T]⁻².

Menggabungkan Dimensi Lewat Rumus

Di soal, besaran $\text{X}$ didapatkan dengan mengalikan besaran $\text{Y}$ dan $\text{Z}$ melalui rumus $X = YZ$. Bagaimana cara mencari dimensi dari $\text{X}$?

Kabar baiknya, huruf dimensi bisa dikalikan dan dibagi persis seperti variabel aljabar biasa. Kamu pasti ingat aturan eksponen di matematika: kalau $x^a$ dikali $x^b$, maka hasilnya adalah $x^{a+b}$. Pangkatnya tinggal dijumlahkan!

Ketika sebuah rumus mensyaratkan dua besaran dikalikan, maka dimensi mereka juga saling dikalikan. Langkahnya sederhana:

Rentengkan semua dimensinya.
Kelompokkan huruf yang sama (misal $[\text{L}]$ dengan $[\text{L}]$).
Jumlahkan pangkatnya.

Sifat inilah yang membuat kita mengecek apakah pernyataan $A$ di soal bernilai benar. Ternyata, dimensinya cocok! Dari dimensi gabungan ini pula kita bisa membalik prosesnya untuk mencari satuan: $[\text{M}]$ jadi $\text{kg}$, $[\text{L}]^{-2}$ jadi $\text{m}^{-2}$, dan $[\text{T}]^{-1}$ jadi $\text{s}^{-1}$. Dapatlah satuan $\text{kg} \cdot \text{m}^{-2} \cdot \text{s}^{-1}$ untuk besaran $\text{X}$.

Jika besaran P berdimensi [M][L]⁻²[T]⁻¹ dan dikalikan dengan besaran Q berdimensi [L][T]⁻¹, bagaimana dimensi hasil kalinya?

A. [M][L]⁻²
B. [M][L]⁻³[T]
C. [M][L]⁻¹[T]⁻²
D. [M]²[L]⁻²[T]⁻¹

Jawaban: C. [M][L]⁻¹[T]⁻²

[L]⁻² dikalikan [L]¹ menjadi [L]⁻¹. [T]⁻¹ dikalikan [T]⁻¹ menjadi [T]⁻². Hasil gabungannya: [M][L]⁻¹[T]⁻².

Saat mengalikan dua variabel berpangkat yang basisnya sama, pangkatnya saling dijumlahkan.