Waktu Paruh: Saat Massa Terus Membelah Dua

Apa Itu Waktu Paruh?

Waktu paruh adalah waktu spesifik yang dibutuhkan agar jumlah suatu zat berkurang menjadi tepat separuhnya. Bayangkan kita mempunyai sebuah kue tart utuh di atas meja, lalu ada bel alarm khusus di sampingnya. Setiap kali bel itu berbunyi sekali, aturan mainnya wajib memotong kue yang ada menjadi tepat separuh bagian.

Pada dunia nyata, isotop radioaktif seperti Iodin-131 berlaku persis seperti kue ini. Zat tersebut tidak stabil dan terus meluruh memancarkan radiasi, sehingga massanya menyusut seiring waktu. Untuk Iodin-131, interval bel berbunyi terjadi setiap $8\text{ hari}$. Artinya, setelah $8\text{ hari}$ pertama berlalu, kue seberat $100\text{ gram}$ dipotong menjadi tersisa $50\text{ gram}$.

Simulasi di atas memperlihatkan apa yang terjadi saat bel berbunyi. Jika waktu pengamatan hanya berlangsung $8\text{ hari}$, maka sisa bahan memang menjadi $50\text{ gram}$. Inilah sebabnya Opsi E ($50\text{ gram}$) terasa sangat menggoda saat pertama kali membaca soal. Namun, waktu penyimpanan pada soal berlangsung selama $24\text{ hari}$ penuh, sehingga bel pemotong kue belum berhenti berbunyi di hari ke-8.

Peluruhan Berkali-kali

Peluruhan eksponensial terjadi terus-menerus setiap kali periode waktu paruh terlewati, membagi dua sisa yang ada secara berurutan. Karena rumah sakit menyimpan Iodin-131 selama $24\text{ hari}$ dan waktu paruhnya adalah $8\text{ hari}$, kita cari tahu terlebih dahulu berapa kali bel pemotong berbunyi:

$$\frac{24\text{ hari}}{8\text{ hari}} = 3\text{ kali}$$

Artinya, pemotongan kue terjadi sebanyak $3$ tahap berturut-turut pada sisa terakhirnya:

1. Hari ke-8 (potongan pertama): dari $100\text{ gram}$ menjadi $50\text{ gram}$.

2. Hari ke-16 (potongan kedua): dari $50\text{ gram}$ dibagi dua lagi menjadi $25\text{ gram}$.

3. Hari ke-24 (potongan ketiga): dari $25\text{ gram}$ dibagi dua lagi menjadi $12{,}5\text{ gram}$.

Diagram alur di atas mempertegas bahwa setiap siklus membagi dua sisa sebelumnya, bukan membagi massa awal. Dari alur ini kita bisa mengecek opsi lainnya:

• Opsi C ($25\text{ gram}$) salah karena perhitungan berhenti terlalu cepat di potongan kedua, yaitu baru mencapai hari ke-16.

• Opsi D ($33{,}3\text{ gram}$) salah karena menggunakan logika pembagian linear satu tahap: membagi $100\text{ gram}$ langsung dengan $3$ ($100 : 3 \approx 33{,}3$). Peluruhan radioaktif tidak bekerja dengan membagi rata secara linear, melainkan memotong separuh dari sisa yang ada secara berulang.

Merumuskan Pola Peluruhan

Proses membagi dua berulang kali dapat ditulis secara ringkas menggunakan perkalian dengan bilangan pecahan berpangkat. Setiap kali membagi dua, kita sebenarnya mengalikan nilai sisa dengan $\frac{1}{2}$. Karena pada soal bel berbunyi sebanyak $3$ kali, kita mengalikan pengali tersebut sebanyak tiga kali berturut-turut:

$$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$$

Pola berulang ini dapat dirumuskan secara umum untuk menghitung massa sisa zat ($N_t$) dari massa awal ($N_0$) setelah melewati $n$ kali periode waktu paruh:

$$N_t = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

Dengan memasukkan data dari soal, di mana $N_0 = 100\text{ gram}$ dan $n = \frac{24}{8} = 3$:

$$N_t = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12{,}5\text{ gram}$$

Hasil perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi B ($12{,}5\text{ gram}$) adalah jawaban yang benar. Sementara itu, Opsi A ($6{,}25\text{ gram}$) keliru karena menghitung peluruhan sebanyak $4$ kali siklus ($100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 6{,}25$), akibat salah membagi durasi waktu atau bablas membagi dua satu kali lebih banyak.