Anatomi Garis: Kemiringan & Titik Potong

Intuisi Gradien: Melihat Kemiringan

Gradien mengukur seberapa curam sebuah garis, dihitung dengan membagi perubahan vertikal dengan perubahan mendatar. Bayangkan kamu sedang menaiki anak tangga atau melewati jalan menanjak. Setiap kali kamu melangkah maju beberapa meter secara mendatar, posisimu juga naik beberapa meter ke atas. Rasio antara pertambahan ketinggian dan langkah mendatar inilah yang disebut nilai gradien ($m$).

Pada bidang Kartesius, garis $h$ memotong sumbu-$x$ di angka $3$ dan memotong sumbu-$y$ di angka $-2$. Artinya, garis tersebut menghubungkan dua titik potong sumbu: titik $(0, -2)$ di bawah sumbu horizontal dan titik $(3, 0)$ di permukaan sumbu mendatar.

Kemiringan garis dapat langsung dihitung dari perbandingan perubahan sisi segitiga siku-siku tersebut:

$$m = \frac{\text{Perubahan Vertikal}}{\text{Perubahan Horizontal}} = \frac{0 - (-2)}{3 - 0} = \frac{2}{3}$$

Nilai gradien garis $h$ adalah $\frac{2}{3}$, bukan $2$. Perubahan vertikalnya tidak dua kali lipat dari langkah mendatarnya, melainkan hanya $2$ langkah ke atas untuk setiap $3$ langkah ke kanan. Oleh karena itu, Pernyataan II yang menyatakan bahwa gradien garis $h$ adalah $2$ bernilai salah.

Menyusun Persamaan Lurus

Persamaan garis didapat secara pasti dari rumus dua titik, menghindarkan kita dari jebakan menukar variabel. Garis $h$ memotong sumbu-$x$ di $x = 3$ (artinya nilai $y = 0$, yaitu titik $(3,0)$) serta memotong sumbu-$y$ di $y = -2$ (artinya nilai $x = 0$, yaitu titik $(0,-2)$).

Banyak orang secara spontan menduga persamaannya adalah $3x - 2y = 6$ karena langsung memasangkan angka pada sumbu-$x$ dengan variabel $x$, dan angka pada sumbu-$y$ dengan variabel $y$. Dugaan ini keliru. Untuk melihat bentuk aljabar yang sebenarnya, kita masukkan kedua koordinat ke dalam rumus persamaan garis melalui dua titik:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

$$\frac{y - 0}{-2 - 0} = \frac{x - 3}{0 - 3} \implies \frac{y}{-2} = \frac{x - 3}{-3}$$

Melakukan perkalian silang pada pecahan di atas menghasilkan:

$$-3y = -2(x - 3)$$

$$-3y = -2x + 6$$

Pindahkan seluruh suku variabel ke ruas kiri:

$$2x - 3y = 6 \quad \text{atau} \quad 2x - 3y - 6 = 0$$

Bentuk $2x - 3y - 6 = 0$ tepat sesuai dengan yang dinyatakan pada soal, sehingga Pernyataan I bernilai benar.

Syarat Dua Garis Tegak Lurus

Dua garis tegak lurus selalu memiliki nilai gradien yang berlawanan tanda dan berkebalikan letak pecahannya. Secara geometris, dua garis yang membentuk sudut siku-siku $90^\circ$ memiliki hubungan arah yang sangat spesifik: jika garis pertama menanjak ke kanan atas, garis pasangannya harus menurun ke kanan bawah dengan kecuraman yang terbalik.

Hubungan keterbalikan ini dirumuskan sebagai:

$$m_1 \cdot m_2 = -1 \quad \text{atau} \quad m_2 = -\frac{1}{m_1}$$

Garis $h$ sudah diketahui memiliki nilai gradien $m_1 = \frac{2}{3}$. Sekarang, periksa kemiringan garis pembanding pada soal, yaitu $2y = 8 - x$. Ubah terlebih dahulu persamaan ini ke dalam bentuk kemiringan-titik potong ($y = mx + c$):

$$2y = -x + 8 \implies y = -\frac{1}{2}x + 4$$

Dari bentuk tersebut, diperoleh gradien garis kedua adalah $m_2 = -\frac{1}{2}$.

Uji apakah perkalian kedua gradien ini memenuhi syarat siku-siku:

$$m_1 \cdot m_2 = \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3}$$

Dengan demikian, Pernyataan III yang menyatakan bahwa garis $h$ tegak lurus dengan garis $2y = 8 - x$ bernilai salah.