Pertidaksamaan: Bukti Aljabar Nilai Ekstrim
Dalil Titik Pojok
Nilai maksimum atau minimum sebuah persamaan linear pada area tertutup selalu terletak pada titik potong terluar (titik pojok). Himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear membentuk daerah tertutup berupa poligon cembung. Karena fungsi yang ingin kita optimalkan bersifat linear murni—tanpa kuadrat, perkalian antarvariabel, atau lengkungan—laju perubahan nilainya konstan di setiap arah. Konsekuensinya, nilai fungsi tidak pernah membentuk "puncak lokal" yang tersembunyi bebas di tengah-tengah ruang daerah penyelesaian.
Untuk membuktikannya secara geometris, kita menggunakan pendekatan garis selidik. Bayangkan fungsi tujuan sebagai sekumpulan garis sejajar $x + y = k$ di bidang Kartesius. Ketika nilai parameter $k$ kita perbesar, garis lurus tersebut akan bergeser sejajar menjauhi titik asal $(0, 0)$ dengan kemiringan yang tetap sama. Selama garis masih memotong badan poligon, nilai $k$ masih bisa terus ditingkatkan. Persentuhan paling akhir antara garis selidik dan daerah poligon sebelum lepas sepenuhnya dipastikan terjadi tepat di sudut terluar poligon, yaitu pada titik persilangan antar garis pembatas.
Berdasarkan dalil ini, kita tidak perlu membuang waktu menguji ribuan titik sembarang di bagian dalam poligon. Pencarian nilai optimum cukup dibatasi pada titik-titik persilangan antar garis pembatasnya.
Sebuah daerah penyelesaian berbentuk segitiga dibatasi sistem pertidaksamaan linear. Ingin dicari batas atas fungsi linear f(x, y). Tentukan kebenaran klaim berikut:
- Nilai optimal akan tercapai tepat pada titik persilangan antar dua garis pembatas yang membentuk segitiga tersebut. — Benar
- Nilai ekstrim bisa saja ditemukan di daerah internal segitiga asalkan fungsinya seimbang. — Salah
Dalil titik pojok menjamin bahwa nilai ekstrem (maksimum atau minimum) dari fungsi linear pada daerah poligon tertutup selalu tercapai pada titik sudut/persilangan terluar. Titik di bagian dalam selalu memiliki tetangga yang bernilai lebih besar atau lebih kecil, sehingga tidak mungkin menjadi nilai ekstrem mutlak.
Sifat garis sejajar fungsi tujuan mencapai nilai ekstrem persis saat menyinggung titik pojok terakhir dari himpunan penyelesaian.
Pencarian Titik Lewat Aljabar
Koordinat persilangan yang memberi batas maksimum dicari menggunakan teknik eliminasi-substitusi dari fungsi tujuan terhadap persamaan batas. Ketika garis selidik $x + y = k$ mencapai nilai maksimum sebesar $5$, kita tahu garis level $x + y = 5$ menyinggung batas daerah penyelesaian pada salah satu garis kendalanya, yaitu $3x + y = 9$. Untuk menemukan koordinat perpotongan eksak kedua garis lurus ini, kita melakukan isolasi variabel tunggal secara tertib aljabar.
Dari persamaan $x + y = 5$, kita isolasi variabel $y$ dengan mengurangkan $x$ dari kedua ruas, sehingga diperoleh $y = 5 - x$. Kesalahan umum yang sering terjadi di tahap ini adalah kekeliruan memindahkan ruas menjadi $y = x - 5$. Kesalahan tanda negatif ini berakibat fatal karena membalik seluruh kemiringan garis dan menghasilkan titik potong fiktif yang melenceng jauh dari batas wilayah yang sesungguhnya.
Setelah mendapatkan bentuk yang valid $y = 5 - x$, substitusikan bentuk ini ke dalam persamaan garis pembatas $3x + y = 9$:
$$3x + (5 - x) = 9$$
$$2x + 5 = 9 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$
Substitusikan kembali nilai absis $x = 2$ ke dalam hubungan awal:
$$y = 5 - 2 = 3$$
Dengan demikian, terbukti secara matematis bahwa koordinat titik potong optimum yang menghasilkan nilai maksimum berada di $(2, 3)$. Fakta penurunan aljabar ini secara langsung mengonfirmasi bahwa Opsi B bernilai benar.
Terdapat garis tujuan 2x + y = 8 berpotongan dengan batas x + 2y = 10 pada titik puncak maksimal. Jika dilakukan metode substitusi dengan mengisolasi variabel y, persamaan absis x yang tepat adalah...
- x + 2(8 - 2x) = 10
- x + 2(2x - 8) = 10
- x + (8 - 2x) = 10
- 2x + (10 - x) = 8
Jawaban: x + 2(8 - 2x) = 10
Dari persamaan 2x + y = 8, isolasi variabel y dilakukan dengan mengurangkan 2x dari kedua ruas sehingga didapat y = 8 - 2x. Memasukkan bentuk ini ke persamaan pembatas x + 2y = 10 menghasilkan x + 2(8 - 2x) = 10. Opsi B salah tanda pada pemindahan ruas, Opsi C lupa mengalikan koefisien 2, dan Opsi D salah mengisolasi variabel persamaan kedua.
Substitusi satu persamaan ke persamaan pembatas lain menghindari cacat pergeseran variabel.
Menemukan Nilai Konstanta Tak Terkuak
Jika sebuah garis pertidaksamaan memotong langsung di titik optimal, konstantanya ditentukan mutlak dengan mensubstitusi titik sudut tersebut. Karena titik pojok maksimum $(2, 3)$ merupakan titik pertemuan yang membatasi daerah penyelesaian, titik ini wajib dilalui oleh garis batas kedua $x + 3y = c$.
Substitusikan absis $x = 2$ dan ordinat $y = 3$ langsung ke dalam persamaan garis:
$$2 + 3(3) = c$$
$$2 + 9 = 11 \implies c = 11$$
Titik sudut utama bernilai (4, 1) dilewati tepat oleh garis pembatas linear 2x + 5y ≤ k. Berapakah nilai k mutlak agar titik tersebut menjadi batas terluar daerah penyelesaian?
- k = 10
- k = 13
- k = 7
- k = 4
Jawaban: k = 13
Dengan memasukkan titik sudut (4, 1) ke persamaan garis 2x + 5y = k, diperoleh 2(4) + 5(1) = 8 + 5 = 13, sehingga k = 13. Pengecoh 10 muncul dari salah perkalian koefisien, 7 berasal dari penjumlahan koordinat polos ditambah faktor acak, dan 4 mengira konstanta sama dengan salah satu nilai koordinat.
Prosedur pengisian koordinat persilangan ke koefisien garis tanpa konstanta memastikan titik tersebut dilalui batas area tanpa sisa.