Trik Invers Fungsi Kuadrat

Fungsi Sebagai Variabel

Fungsi dalam sistem persamaan dapat dieliminasi layaknya variabel biasa. Simbol seperti $g(x)$ atau $h^{-1}(x)$ sering kali membuat kita ragu karena terlihat rumit, padahal keduanya hanyalah wadah nilai. Sama seperti sistem dua variabel biasa, kita bisa menerapkan metode Eliminasi Fungsi untuk mengurai relasi yang saling bertumpuk.

Pada kedua persamaan yang diketahui:

1. $g(x) + 3h^{-1}(x) = x^2 + x - 18$

2. $g(x) + 2h^{-1}(x) = x^2 - 14$

Karena kedua persamaan sama-sama memuat suku tunggal $g(x)$, kita bisa mengurangkan persamaan pertama dengan persamaan kedua:

$$\begin{aligned} (g(x) + 3h^{-1}(x)) - (g(x) + 2h^{-1}(x)) &= (x^2 + x - 18) - (x^2 - 14) \\ h^{-1}(x) &= x - 4 \end{aligned}$$

Setelah $h^{-1}(x)$ ditemukan, kita substitusikan kembali ke persamaan kedua untuk mengungkap bentuk $g(x)$:

$$\begin{aligned} g(x) + 2(x - 4) &= x^2 - 14 \\ g(x) + 2x - 8 &= x^2 - 14 \\ g(x) &= x^2 - 2x - 6 \end{aligned}$$

Mengemas Ulang x

Bentuk $x^2$ dan $x$ harus disatukan menjadi kuadrat sempurna agar variabel $x$ bisa diisolasi saat mencari invers. Ketika mencari invers dari fungsi kuadrat seperti $g(x) = x^2 - 2x - 6$, kita biasa memisalkan $y = g(x)$. Masalahnya, variabel $x$ muncul di dua tempat berbeda: ada suku kuadrat $x^2$ dan suku linear $-2x$. Kita tidak bisa langsung memindahkan ruas begitu saja untuk membuat $x$ berdiri sendiri.

Di sinilah kita butuh analogi mengemas ulang kado. Jika isi kado (variabel $x$) masih berserakan di dua tempat, kita rapikan dan satukan ke dalam satu kotak kemasan melalui teknik Melengkapkan Kuadrat.

Secara geometris, memanipulasi bentuk $x^2 - 2x$ berarti memotong persegi besar bersisi $x$ dan menata ulang potongan perseginya:

$$\begin{aligned} y &= x^2 - 2x - 6 \\ y &= (x^2 - 2x + 1) - 1 - 6 \\ y &= (x - 1)^2 - 7 \end{aligned}$$

Kini persamaannya menjadi:

$$\begin{aligned} y + 7 &= (x - 1)^2 \\ \pm\sqrt{y + 7} &= x - 1 \\ x &= 1 \pm \sqrt{y + 7} \end{aligned}$$

Kenapa Harus Ada Syarat?

Syarat nilai positif atau negatif menentukan cabang akar mana yang harus diambil saat membuka kuadrat. Saat membalikkan bentuk $(x - 1)^2 = y + 7$, operasi penarikan akar kuadrat selalu memunculkan dua kemungkinan matematis, yaitu tanda plus dan minus:

$$x = 1 \pm \sqrt{y + 7}$$

Padahal, aturan baku dari sebuah fungsi adalah satu input hanya boleh menghasilkan tepat satu output. Jika kedua cabang dibiarkan aktif, relasi invers tersebut gagal menjadi fungsi karena satu nilai $x$ akan bercabang menghasilkan dua nilai berbeda. Di sinilah konsep Domain dan Range menjadi krusial.

Keterangan pada soal bahwa $g^{-1}(x)$ bernilai positif berfungsi sebagai petunjuk arah cabang:

• Cabang positif: $g^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 7}$ (selalu menghasilkan nilai $> 1$, sehingga memenuhi syarat bernilai positif).

• Cabang negatif: $g^{-1}(x) = 1 - \sqrt{x + 7}$ (menghasilkan nilai yang bisa menjadi negatif, misalnya saat $x = 9$ menghasilkan $1 - 4 = -3$).