Eksponen Runtut: Dari Basis ke Pangkat

Kenapa Pangkat Ditambah atau Dikali?

Pangkat dijumlah jika basisnya dikali, dan dikali jika basisnya dipangkatkan lagi, karena pangkat sejatinya adalah pengulangan perkalian. Notasi eksponen seperti $2^3$ hanyalah cara ringkas untuk menulis perkalian berulang $2 \times 2 \times 2$. Angka $2$ disebut basis (bilangan pokok), sedangkan angka $3$ disebut eksponen (banyaknya perulangan).

Bayangkan eksponen sebagai kotak berisi barang. Jika kita mengalikan $2^3$ dengan $2^2$, bayangkan kita membuka satu kotak berisi $3$ angka dua dan satu kotak berisi $2$ angka dua, lalu menjejarkannya di lantai yang sama: $(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2)$. Kini ada $5$ angka dua yang saling dikalikan. Karena kita hanya menggabungkan isi kedua kotak, pangkatnya cukup dijumlahkan:

$$2^3 \cdot 2^2 = 2^{3+2} = 2^5$$

Sebaliknya, perhatikan bentuk pangkat berlapis seperti $(2^3)^2$. Di sini, ada $2$ kotak besar di mana masing-masing kotak memuat $3$ angka dua di dalamnya. Total seluruh angka dua adalah $3 \times 2 = 6$. Karena ada penggandaan kelompok tumpukan, pangkatnya harus dikalikan:

$$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$$

Aturan ini tetap bekerja dengan cara yang sama persis saat pangkat memuat variabel aljabar seperti $n$. Misalnya pada pembilang soal, bentuk $2^{n+2} \cdot 2^{n-4}$ berarti kita mengalikan dua basis yang sama, sehingga pangkatnya cukup dijumlahkan menjadi $(n+2) + (n-4)$.

Membongkar Angka Besar ke Akar Primanya

Angka komposit seperti $6$ dan $12$ harus dipecah menjadi perkalian bilangan prima agar bisa disatukan dengan basis sejenis lainnya. Sifat penjumlahan atau pengurangan eksponen hanya berlaku jika basis bilangannya identik. Selama basisnya masih berbeda ($2$, $6$, dan $12$), suku-suku tersebut terkunci dan tidak bisa langsung disederhanakan.

Untuk membongkarnya, kita mencari faktor prima dari setiap bilangan komposit:

• Angka $6$ langsung terurai menjadi dua bilangan prima: $6 = 2 \cdot 3$.

• Angka $12$ dipecah menjadi $4 \cdot 3$, lalu angka $4$ dipecah lagi menjadi $2 \cdot 2 = 2^2$. Sehingga, bentuk primanya adalah $12 = 2^2 \cdot 3$.

Setelah basis dipecah, gunakan sifat distributif eksponen: bagikan pangkat di luar kurung ke setiap bilangan prima di dalam kurung.

Sekarang seluruh ekspresi hanya tersusun dari dua basis bilangan prima murni: basis $2$ dan basis $3$.

Menyatukan dan Mencoret Basis yang Sama

Setelah basis dipecah, langkah terakhir adalah mengelompokkan basis yang sama di pembilang dan penyebut lalu mengurangkan pangkatnya. Tulis ulang bentuk pecahan dengan memisahkan pengerjaan basis $2$ dan basis $3$:

$$\left( \frac{2^{n+2} \cdot 2^{n-4}}{2^{2n-2}} \right) \cdot \left( \frac{3^{n-4}}{3^{n-1}} \right)$$

Mari selesaikan langkah demi langkah secara terstruktur:

1. Sederhanakan basis $2$: Jumlahkan pangkat pembilang: $(n+2) + (n-4) = 2n-2$, sehingga pembilangnya menjadi $2^{2n-2}$. Bagi dengan penyebut: saat membagi basis yang sama, kurangkan pangkat atas dengan pangkat bawah:

   $$2^{(2n-2) - (2n-2)} = 2^0 = 1$$

   Karena bilangan berapapun (selain nol) berpangkat nol bernilai $1$, basis $2$ habis membatalkan satu sama lain.

2. Sederhanakan basis $3$: Kurangkan pangkat pembilang dengan pangkat penyebut:

   $$3^{(n-4) - (n-1)}$$

   Buka tanda kurung secara teliti: $(n - 4) - (n - 1) = n - 4 - n + 1 = -3$. Eksponen negatif menunjukkan kebalikan nilai (posisi penyebut):

   $$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$$

Kalikan hasil kedua basis: $1 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{27}$. Oleh karena itu, Opsi D adalah jawaban yang benar.