Trik Cepat Jumlah Koefisien

Eksperimen dengan Angka

Mensubstitusikan nilai $x = 1$ ke dalam polinomial akan menghasilkan nilai yang sama persis dengan total penjumlahan seluruh koefisiennya.

Bayangkan kita memiliki sebuah polinomial sederhana, yaitu $P(x) = 2x^2 - 5x + 3$. Jika kita ingin menghitung jumlah seluruh koefisiennya secara manual, kita tinggal menjumlahkan angka-angka yang ada di depan variabel beserta konstantanya:

$$2 + (-5) + 3 = 0$$

Sekarang, mari kita coba memasukkan "anak kunci" berupa nilai $x = 1$ ke dalam fungsi tersebut. Karena angka $1$ dipangkatkan berapa pun hasilnya tetaplah $1$, keberadaan angka $1$ bersifat netral dan tidak mengubah nilai perkalian di depannya. Kita peroleh $P(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 2 - 5 + 3 = 0$. Hasil perhitungannya identik dengan penjumlahan koefisien yang kita lakukan sebelumnya!

Yuk, buktikan sendiri lewat eksperimen di bawah ini: coba geser slider nilai $x$ dan amati apa yang terjadi pada suku-suku polinomial saat anak kunci $x = 1$ dipasang.

Dari Angka ke Aturan Umum

Pernyataan "jumlah seluruh koefisien suatu polinomial" adalah terjemahan bahasa Indonesia untuk notasi matematika $P(1)$.

Prinsip anak kunci angka $1$ ini berlaku umum untuk fungsi polinomial apa pun, tidak peduli seberapa tinggi derajat pangkatnya atau seberapa panjang sukunya:

• Saat kita menyuntikkan nilai $x = 1$ ke dalam polinomial umum $P(x)$, variabel berpangkat seperti $x^n, x^{n-1}, \dots, x$ semuanya berubah menjadi angka $1$.

• Karena perkalian dengan $1$ tidak mengubah nilai, semua variabel lebur dan meninggalkan barisan koefisien murni untuk saling dijumlahkan.

• Dengan kata lain, ekspresi matematika untuk "total penjumlahan seluruh koefisien $P(x)$" adalah nilai fungsi saat dievaluasi pada $x = 1$, yaitu $P(1)$.

Mengeksekusi Teorema Faktor

Kondisi jumlah koefisien bernilai nol berarti $P(1) = 0$, yang berdasarkan Teorema Faktor memastikan $(x-1)$ sebagai faktor dari polinomial.

Di soal kita, premis yang diberikan berbunyi: "jumlah dari seluruh koefisien suatu polinomial $P(x)$ adalah nol". Berdasarkan prinsip evaluasi fungsi yang baru saja kita pelajari, kalimat tersebut memiliki makna matematis langsung bahwa nilai $P(1) = 0$.

Di sinilah kita menggunakan Teorema Faktor. Menurut teorema ini, jika sebuah nilai $k$ membuat $P(k) = 0$, maka bentuk $(x - k)$ adalah faktor dari $P(x)$. Dengan analogi anak kunci, karena anak kunci $x = 1$ sukses membuka kotak rahasia hingga bersisa $0$, maka bentuk cetakan gigi kuncinya adalah $(x - 1)$. Inilah alasan pasti mengapa Opsi C merupakan jawaban yang benar.

Mari kita periksa juga opsi lainnya dengan kacamata logika yang sama:

• Opsi D ($(x+1)$ adalah faktor): Faktor $(x+1)$ atau $(x - (-1))$ mensyaratkan nilai $P(-1) = 0$, yaitu jumlah koefisien berselang-seling tanda yang bernilai nol. Soal kita berbicara tentang jumlah total, bukan selang-seling tanda.

• Opsi A ($P(x)$ tidak memiliki akar real): Pernyataan ini jelas gugur. Fakta bahwa $(x-1)$ merupakan faktor dari $P(x)$ justru membuktikan bahwa $P(x)$ pasti memiliki setidaknya satu akar real, yaitu $x = 1$.