Membelah Kubus: Ubah Dimensi Tiga Jadi Dua

Jarak = Jalan Terpendek

Pernahkah kamu berada di pinggir jalan raya dan ingin menyeberang ke sisi seberang secepat mungkin? Secara insting, kamu pasti akan berjalan lurus ke depan menyilang jalan, bukan berjalan miring.

Meskipun terdengar sederhana, intuisi jalanan ini adalah fondasi paling penting dalam geometri dimensi tiga!

Dalam matematika, jarak dari sebuah titik (misalnya kamu) ke sebuah garis (misalnya trotoar di seberang) atau bidang, selalu didefinisikan sebagai jarak terpendek. Dan jarak terpendek ini pasti selalu ditarik lurus hingga membentuk sudut siku-siku (tegak lurus) dengan targetnya.

Meskipun nanti kita akan bermain di ruang 3 dimensi (seperti di dalam kubus) yang kelihatannya rumit dan berputar-putar, prinsip "siku-siku" ini tidak pernah berubah. Mau mencari jarak titik ke garis atau titik ke bidang, selalu cari garis yang memotong target tepat 90 derajat!

Jurus Rahasia: Mengiris Kubus

Membayangkan ruang 3 dimensi (3D) sering kali bikin pusing karena kita harus mengira-ngira benda yang melayang di udara. Saat ngerjain soal kemarin, mungkin kamu kesulitan menentukan letak pasti jarak dari titik B ke garis DF.

Mari kita ambil kasus dari soal: mencari jarak titik B ke garis DF (diagonal ruang).

Bayangkan kita menyelipkan sebuah mika plastik berwarna cerah ke dalam kubus. Mika ini kita posisikan sedemikian rupa sehingga ujung-ujungnya tepat menyentuh titik B, D, dan F. Mika ini akan memotong kubus dan membentuk sebuah bidang segitiga siku-siku di dalam kubus.

Coba mainkan visual interaktif di bawah ini untuk melihat irisan "mika" tersebut!

Setelah kamu berhasil menemukan dan mengiris bidang segitiga BDF ini, lupakan kubusnya sama sekali! Fokus saja pada segitiga 2D yang sudah kita keluarkan. Pekerjaanmu sekarang jauh lebih mudah karena kamu cuma perlu melihat sebuah bangun datar di atas meja.

Segitiga Bantuan & Kesamaan Luas

Sekarang kita gambar ulang segitiga mika BDF yang sudah kita iris tadi secara mendatar 2D. Karena rusuk tegak kubus selalu tegak lurus dengan alas, segitiga ini siku-siku di B.

Mari kita tulis panjang sisi-sisinya berdasarkan sifat kubus berukuran rusuk $s$:

• Tinggi segitiga $BF$ = rusuk = $s$

• Alas segitiga $BD$ = diagonal sisi = $s\sqrt{2}$

• Sisi miring $DF$ = diagonal ruang = $s\sqrt{3}$

Jarak dari titik B ke garis DF adalah garis tinggi (sebut saja $t$) yang ditarik dari B dan menabrak DF secara siku-siku.

Rumus luas segitiga adalah $\frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}$.

• Jika kita pakai BD sebagai alas: Luas = $\frac{1}{2} \times BD \times BF$

• Jika kita putar dan pakai DF sebagai alas: Luas = $\frac{1}{2} \times DF \times t$

Karena luasnya sama, kita bisa menyamakan keduanya: $\frac{1}{2} \times BD \times BF = \frac{1}{2} \times DF \times t$ $BD \times BF = DF \times t$

Dengan persamaan ini, kita bisa langsung mencari nilai $t$ (jarak yang kita cari) dengan sangat mudah!