Misteri x*y: Membedah Pembagi Angka Besar
Apa Makna Asli $x \cdot y = C$?
Pernah lihat bentuk aljabar seperti $x \cdot y = 12$ dengan syarat $x$ dan $y$ adalah bilangan asli? Kalau kamu bingung persamaan ini maksudnya apa, mari kita terjemahkan ke bahasa yang lebih sederhana.
Persamaan $x \cdot y = C$ sebenarnya cuma sebuah instruksi yang menyuruh kita: "Carilah sepasang angka yang kalau dikalikan hasilnya $C$."
Karena $x$ dan $y$ harus bilangan asli (bilangan bulat positif seperti 1, 2, 3, dst), maka nilai $x$ (dan $y$) haruslah angka yang bisa membagi habis $C$. Dalam matematika, angka yang bisa membagi habis angka lain disebut sebagai faktor atau pembagi.
Contoh, untuk $x \cdot y = 12$, berapa nilai $x$ yang mungkin? Semua angka yang bisa membagi 12 adalah jawabannya!
Bisa $1$ (karena $1 \cdot 12 = 12$)
Bisa $2$ (karena $2 \cdot 6 = 12$)
Bisa $3, 4, 6,$ atau $12$.
Jadi, saat kamu ketemu soal $x \cdot y = 2023$, pertanyaannya sama saja dengan: "Angka apa saja yang bisa membagi habis 2023?" Semua angka yang membagi habis 2023 adalah nilai $x$ yang MUNGKIN. Kalau menyisakan koma, berarti TIDAK MUNGKIN.
Jika x dan y adalah bilangan asli dan memenuhi persamaan x · y = 50, maka mencari nilai x sama artinya dengan...
- A. Mencari dua bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya 50
- B. Mencari semua bilangan genap di bawah 50
- C. Mencari semua angka bulat yang dapat membagi habis 50
- D. Mencari bilangan prima yang lebih besar dari 50
Jawaban: C. Mencari semua angka bulat yang dapat membagi habis 50
xy = 50 artinya x dan y dikalikan hasilnya 50. Agar y bilangan asli, maka 50 dibagi x harus habis (tanpa koma). Jadi x adalah pembagi habis (faktor) dari 50.
Persamaan xy = C dengan x, y bilangan asli bermakna x haruslah faktor (pembagi) bulat dari C.
Memecah Angka 2023 (Faktorisasi)
Sekarang kita tahu kita harus mencari pembagi dari 2023. Tapi, mengecek angka 1 sampai 2023 satu per satu tentu memakan waktu. Cara paling sistematis untuk membongkar angka besar adalah dengan mencari "bahan baku" pembuatnya, yaitu bilangan prima.
Mari kita pecah angka 2023 dengan mengecek pembagian bilangan prima secara berurutan:
Bagi 2? Tidak bisa, 2023 itu ganjil.
Bagi 3? (Tips: jumlahkan digitnya $2+0+2+3 = 7$. Karena 7 tidak habis dibagi 3, 2023 juga tidak).
Bagi 5? Ujungnya bukan 0 atau 5, jadi tidak bisa.
Bagi 7? Mari kita hitung: $2023 \div 7 = 289$. Tepat!
Sekarang kita punya sisa 289. Kita pecah lagi angka 289. Angka ini tidak bisa dibagi 7 maupun 11. Kalau kita coba 13, juga sisa. Bagaimana dengan 17? $289 \div 17 = 17$.
Karena 17 adalah bilangan prima, proses kita selesai! Kesimpulan matematisnya, "resep" pembentuk angka 2023 adalah: $2023 = 7 \times 17 \times 17$
Dengan tahu bahan baku ini, kita akan sangat mudah mencari tahu angka apa saja yang MUNGKIN menjadi nilai $x$.
Berdasarkan langkah mencari faktorisasi prima, manakah pernyataan di bawah ini yang BENAR?
- Mengecek faktorisasi suatu angka biasanya dimulai dengan mencoba membaginya dengan 2, 3, dan 5 secara berurutan.
- Angka 3003 tidak bisa dibagi 3 karena ujungnya adalah 3.
- Jika suatu angka genap, maka 2 pasti merupakan salah satu faktor primanya.
Jawaban: Mengecek faktorisasi suatu angka biasanya dimulai dengan mencoba membaginya dengan 2, 3, dan 5 secara berurutan.; Jika suatu angka genap, maka 2 pasti merupakan salah satu faktor primanya.
Pernyataan 1 benar (11 bukan prima, tapi 2, 3, 5 prima). Pernyataan 2 salah, jumlah digit 3003 (3+0+0+3=6) habis dibagi 3, jadi bisa dibagi 3. Pernyataan 3 benar, 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap.
Faktorisasi prima memecah angka menjadi perkalian bilangan-bilangan prima terkecil yang menyusunnya.
Merakit Pembagi Kombinasi
Banyak yang terjebak dan berpikir, "Oh, 2023 itu $7 \times 17 \times 17$. Berarti yang bisa membagi 2023 cuma angka 7 dan 17 saja!"
Itu salah besar.
Coba bayangkan kamu punya balok bangunan: satu blok tipe [7], dan dua blok tipe [17]. Kamu bisa merakit blok-blok ini untuk membuat pembagi baru!
Mari kita buktikan satu per satu kombinasinya:
Gabungkan 7 dan 17 $\rightarrow 7 \times 17 = 119$. Apakah 119 bisa membagi 2023? Ya, $2023 \div 119 = 17$ (hasilnya bulat!). Jadi 119 adalah pembagi sah.
Gabungkan 17 dan 17 $\rightarrow 17 \times 17 = 289$. Apakah 289 membagi 2023? Ya, $2023 \div 289 = 7$.
Jangan lupakan angka 1. Angka 1 itu "pembagi universal", selalu bisa membagi angka apapun ($2023 \div 1 = 2023$).
Jadi, dengan bahan baku $7 \times 17 \times 17$, daftar lengkap angka yang MUNGKIN membagi 2023 adalah: 1, 7, 17, 119, 289, dan 2023 itu sendiri.
Misalkan suatu bilangan asli N memiliki faktorisasi prima N = 2 × 5 × 7. Jika x · y = N, tentukan Benar/Salah untuk pernyataan berikut!
- Angka 35 pasti merupakan salah satu nilai x yang mungkin membagi habis N. — Benar
- Angka 11 merupakan salah satu nilai x yang mungkin membagi habis N. — Salah
- Angka 1 pasti merupakan nilai x yang mungkin membagi habis N. — Benar
Angka 35 didapat dari kombinasi 5 × 7. Karena 5 dan 7 adalah bahan baku N, maka 35 pasti bisa membagi N. Angka 11 tidak ada di bahan baku, jadi tidak bisa. Angka 1 selalu bisa membagi bilangan bulat apa pun.
Kombinasi hasil kali dari faktor-faktor prima suatu bilangan otomatis merupakan pembagi (faktor) yang sah dari bilangan tersebut.