Membongkar Teka-Teki Variabel Tersembunyi

Mengenal Bilangan Bulat

Berdasarkan riset matematika, Bilangan Bulat adalah bilangan yang utuh dan sama sekali tidak mengandung unsur pecahan atau desimal. Di soal ini, kita mencari solusi yang harus berupa Bilangan Positif sekaligus utuh.

Sering kali kita terkecoh menganggap angka desimal seperti $4.5$ sebagai bilangan bulat asalkan nilainya positif (lebih besar dari angka nol). Faktanya, angka $4.5$ memang positif, tetapi bukan bilangan bulat karena memiliki unsur desimal ($,5$).

Kelompok bilangan yang memenuhi syarat 'bilangan bulat positif' adalah angka penghitungan utuh seperti $1, 2, 3, 4$, dan seterusnya. Coba bayangkan menghitung jumlah orang dalam sebuah antrean: tidak mungkin ada $4.5$ orang, kan? Oh ya, angka nol ($0$) juga bukan bagian dari kelompok ini, karena nol sifatnya netral (bukan bilangan positif maupun negatif).

Tentukan apakah angka-angka berikut memenuhi syarat 'bilangan bulat positif'.

Angka 7 — Benar
Angka 2.8 — Salah
Angka 0 — Salah

Bilangan bulat positif harus utuh dan lebih besar dari nol. Angka 7 memenuhi syarat tersebut. Angka 2.8 ditolak karena ada desimalnya. Angka 0 ditolak karena 0 bukanlah bilangan positif maupun negatif.

Definisi bilangan bulat positif mengecualikan desimal dan nol.

Variabel Banyak, Persamaan Dikit

Pernahkah kamu menghadapi soal yang jumlah hurufnya (variabelnya) lebih banyak daripada jumlah persamaannya? Di soal ini, kita punya 3 variabel ($x, y, z$) tapi cuma dikasih 2 persamaan ($3x + y = 9$ dan $x + 2z = 10$). Kondisi ini dikenal sebagai Sistem Tak Tentu.

Sistem tak tentu umumnya punya banyak sekali kemungkinan solusi. Karena metode eliminasi biasa tidak akan cukup, kita sangat butuh "aturan khusus" agar bisa menemukan satu jawaban yang pasti. Aturan khususnya di soal ini adalah Persamaan Diophantine, yaitu pembatasan di mana solusinya hanya boleh berupa bilangan bulat.

Bayangkan dua persamaan tadi seperti membongkar gembok koper kombinasi. Persamaan pertama adalah gembok kiri, persamaan kedua adalah gembok kanan. Variabel $x$ adalah roda gigi tengah yang menghubungkan keduanya. Angka pada roda gigi tersebut harus bisa membuka kedua gembok sekaligus tanpa melanggar aturan putaran (syarat bilangan bulat positif).

Tanpa aturan pembatasan, kombinasi angkanya tidak terhingga. Tapi dengan syarat bilangan bulat positif, angka yang bisa diputar jadi sangat terbatas. Kita bisa mulai dengan menebak pakai angka kecil. Misalnya kita putar roda gigi $x$ ke angka $1$ untuk gembok pertama ($3x + y = 9$): $3(1) + y = 9$ $3 + y = 9 \rightarrow y = 6$

Angka $1$ dan $6$ keduanya bulat positif. Berarti, ini tebakan awal yang sangat valid!

Jika kita memutar roda gigi $x$ ke angka 3 pada gembok pertama $3x + y = 9$, apa yang terjadi pada $y$, dan apakah itu memenuhi aturan gembok (bilangan bulat positif)?

$y$ menjadi 0, sehingga melanggar aturan karena 0 bukan bilangan positif.
$y$ menjadi 0, dan itu memenuhi aturan gembok.
$y$ menjadi bilangan negatif, sehingga melanggar aturan.
$y$ menjadi 1, dan itu memenuhi aturan gembok.

Jawaban: $y$ menjadi 0, sehingga melanggar aturan karena 0 bukan bilangan positif.

Jika disubstitusi $x=3$, maka $3(3) + y = 9$, sehingga $9 + y = 9$ dan didapat $y = 0$. Karena angka 0 bukan bilangan positif, tebakan ini melanggar aturan gembok.

Kemampuan melakukan uji coba angka sederhana pada satu persamaan.

Membatasi Ruang Gerak

Syarat bilangan positif dapat diubah menjadi pertidaksamaan matematis untuk membatasi nilai variabel tertentu. Jika kita mencoba angka satu per satu dari angka 1 sampai 100, itu akan memakan waktu terlalu lama dan kita tidak tahu kapan harus berhenti.

Mari kita persempit ruang geraknya! Dari gembok pertama, kita punya $3x + y = 9$. Kita bisa pindah ruas menjadi $y = 9 - 3x$.

Karena $y$ harus bilangan bulat positif, nilai minimum yang sah untuk $y$ adalah $1$. Jadi, kita bisa susun aturan: $y \ge 1$ $9 - 3x \ge 1$ $8 \ge 3x$ $x \le \frac{8}{3}$ atau $x \le 2.66$

Nah, karena $x$ juga wajib bilangan bulat positif, angka utuh apa saja yang kurang dari $2.66$ dan lebih dari $0$? Ya, HANYA $1$ dan $2$. Ruang tebakan kita yang awalnya tak terbatas kini berhasil dikunci hanya pada dua angka!